7-3-23. H. Poincaré: Rapport sur la thèse de M. Bachelier

[Avant le 29.03.1900]

Le sujet choisi par M. Bachelier s’éloigne un peu de ceux qui sont habituellement traités par nos candidats; sa thèse est intitulée Théorie de la Spéculation et a pour objet l’application du Calcul des Probabilités aux opérations de Bourse. On pourrait craindre d’abord que l’auteur ne se soit fait illusion sur la portée du Calcul des Probabilités, comme on l’a fait trop souvent. Il n’en est rien heureusement; dans son introduction et plus loin dans le paragraphe intitulé, la Probabilité dans les Opérations de la Bourse, il s’efforce de fixer les limites dans lesquelles on peut avoir légitimement recours à ce genre de Calcul; il ne s’exagère donc pas la portée de ses résultats et je ne crois pas qu’il soit dupe de ses formules.

Qu’a-t-on donc légitimement le droit d’affirmer en pareille matière ? Il est clair d’abord que les cours relatifs aux diverses sortes d’opérations doivent obéir à certaines lois; ainsi on pourrait imaginer des combinaisons de cours telles que l’on puisse jouer à coup sûr; l’auteur en cite des exemples; il est évident que de pareilles combinaisons ne se produiront jamais, ou que si elles se produisaient elles ne sauraient jamais se maintenir l’acheteur croit la hausse probable, sans quoi il n’achèterait pas, mais s’il achète, c’est que quelqu’un lui vend; et ce vendeur croit évidemment la baisse probable; d’où il résulte que le marché pris dans son ensemble considère comme nulle l’espérance mathématique de toute opération et de toute combinaison d’opérations.

Quelles sont les conséquences mathématiques d’un pareil principe ? Si l’on suppose que les écarts ne sont pas très grands, on peut admettre que la probabilité d’un écart donné par rapport au cours côté ne dépend pas de la valeur absolue de ce cours; dans ces conditions le principe de l’espérance mathématique suffit pour déterminer la loi des probabilités; on retombe sur la célèbre loi des erreurs de Gauss.

Comme cette loi a été l’objet de démonstrations nombreuses qui pour la plupart sont de simples paralogismes, il convient d’être circonspect et d’examiner cette démonstration de près; ou du moins il est nécessaire d’énoncer d’une manière précise les hypothèses que l’on fait. Ici l’hypothèse que l’on a à faire c’est que, comme je viens de le dire, la probabilité d’un écart donné à partir du cours actuel est indépendante de la valeur absolue de ce cours. L’hypothèse peut être admise, pourvu que les écarts ne soient pas trop grands. L’auteur l’énonce nettement, sans y insister peut-être autant qu’il conviendrait. Il suffit pourtant qu’il l’ait énoncée explicitement pour que ses raisonnements soient corrects.

La manière dont M. Bachelier tire la loi de Gauss est fort originale et d’autant plus intéressante que son raisonnement pourrait s’étendre avec quelques changements à la théorie même des erreurs. Il le développe dans un chapitre dont le titre peut d’abord sembler étrange, car il l’intitule, Rayonnement de la Probabilité. C’est en effet à une comparaison avec la théorie analytique de la propagation de la chaleur que l’auteur a eu recours. Un peu de réflexion montre que l’analogie est réelle et la comparaison légitime. Les raisonnements de Fourier sont applicables presque sans changement à ce problème si différent de celui pour lequel ils ont été créés.

On peut regretter que M. Bachelier n’ait pas développé davantage cette partie de sa thèse. Il aurait pu montrer dans le détail l’analyse de Fourier. Il en a dit assez cependant pour justifier la loi de Gauss, et faire entrevoir les cas où elle cesserait d’être légitime.

La loi de Gauss étant établie, on peut en déduire assez aisément certaines conséquences susceptibles d’une vérification expérimentale. Telle est par exemple la relation entre la valeur d’une prime et l’écart avec le ferme. On ne doit pas s’attendre à une vérification très exacte. Le principe de l’espérance mathématique s’impose en ce sens que s’il était violé, il y aurait toujours des gens qui auraient intérêt à jouer de façon à le rétablir et qu’ils finiraient par s’en apercevoir. Mais ils ne s’en apercevront que si l’écart est considérable. La vérification ne peut donc être que grossière l’auteur de la thèse donne des statistiques où elle se fait d’une façon très satisfaisante.

M. Bachelier examine ensuite un problème qui au premier abord semble devoir donner lieu à des calculs très compliqués. Quelle est la probabilité pour que tel cours soit atteint avant telle date ? En écrivant l’équation du problème, on est conduit à une intégrale multiple où on voit autant de signes $\int$ superposés qu’il y a de jours avant la date fixée. Cette équation semble d’abord inabordable. L’auteur la résout par un raisonnement court, simple et élégant; il en fait d’ailleurs remarquer l’analogie avec le raisonnement connu de M. André au sujet du problème du dépouillement d’un scrutin. Mais cette analogie n’est pas assez étroite pour diminuer en quoi que ce soit l’originalité de cet ingénieux artifice. Pour d’autres problèmes analogues, l’auteur s’en sert également avec succès.

En résumé, nous sommes d’avis qu’il y a lieu d’autoriser M. Bachelier à imprimer sa thèse et à la soutenir.

Poincaré   Appell   J. Boussinesq

ADS 3p. AJ/16/5537, Archives nationales françaises. Le rapport est réproduit en fac-similé dans Courtault et al. (2000), et transcrit dans Courtault and Kabanov (2002, 24–28). Pour des traductions du rapport en anglais, voir Courtault et al. (2000) et Davis and Etheridge (2006, § 2).

Time-stamp: "25.07.2023 08:57"

Notes

• 1 Le manuscrit porte une annotation de main inconnue : “29 mars 1900”, alors que la thèse de Louis Bachelier, intitulée “Théorie de la spéculation” fut soutenue à la Faculté des sciences de Paris le 29 mars 1900, devant un jury composé de Paul Appell, Joseph Boussinesq, et Henri Poincaré (Rapport de soutenance de thèse, AJ/16/5537, Archives nationales françaises). Appell a rédigé le rapport de soutenance (2p); il n’est pas transcrit ici.
• 2 Bachelier (1900). La thèse de Bachelier fut rééditée, traduite en anglais et annotée par Davis and Etheridge (2006); ils ont également pris soin de traduire en anglais le rapport de Poincaré.
• 3 Voir Bachelier (1900, 48), où Bachelier observe que le flux de probabilité est proportionnel au gradient de probabilité, tout comme le flux de chaleur est proportionnel au gradient de temperature dans la théorie de propagation de la chaleur de Fourier (1822).