7-1-3. Note sur un appareil de mesure des variations de la gravité

[Ca. 15.02.1893]11endnote: 1 Le manuscrit inséré au procès-verbaux du Bureau des longitudes est précédé d’une annotation de main inconnue : “Note de M. Poincaré, à annexer au procès-verbal de la séance du 15 Février 1893”. La note de Poincaré concerne la précision théorique d’un appareil de mesure des variations de la gravité proposé par Anatole Bouquet de la Grye. Ce dernier a communiqué une description de l’appareil à l’Académie des sciences le 20 février 1893 (Bouquet de la Grye 1893). Lors de la séance du 22 février du Bureau des longitudes, Poincaré a résumé le résultat de son analyse, en soulignant l’effet de l’angle décrit par l’axe du tube supérieur de l’appareil par rapport au vertical. Cet angle fut négligé dans le calcul de Gabriel Lippmann, repris dans la note de Bouquet de la Grye. Voici l’extrait du procès-verbal: “Il en résulte que, si le tube supérieur est rigoureusement horizontal, le coefficient de multiplication est égal au rapport S/sS/s des sections du réservoir et du tube vertical. Mais, si le tube supérieur présente une inclinaison égale à ε\varepsilon, le rapport dont il s’agit a pour expression 1/(aε+bs/S)1/(a\varepsilon+bs/S). Si ε\varepsilon a une valeur sensible, cela revient à 1/aε1/a\varepsilon. M. Poincaré a trouvé que, pour que aϵa\epsilon disparaisse devant bs/Sbs/S, il faut que ε\varepsilon soit très petit, plus petit que 1"/50 ; toutefois son calcul n’est pas définitif, parce qu’on n’avait pas les dimensions exactes des diverses pièces de l’appareil de M. Bouquet de la Grye.” (Procès-verbaux du Bureau des longitudes, séance du 22 février 1893)

Soit ABCDABCD le vase cylindrique22endnote: 2 Poincaré reprend certains éléments de la description de l’appareil publiée dans les Comptes rendus. Son schéma néglige les détails inutiles à son analyse, comme on peut le constater en comparant le dessin paru dans la note de Bouquet de la Grye.

DGHKDGHK le tube deux fois coudé contenant le mercure

EFEF l’axe du cylindre ABCDABCD

LL le point où cet axe rencontre le niveau du mercure, KK le ménisque, QQ le pied de la perpendiculaire abaissée du point GG sur EFEF.

Soient z1z_{1}, z2z_{2}, z3z_{3}, z4z_{4}, z5z_{5} les ordonnées des points KK, HH, GG, QQ, LL au dessus d’un plan horizontal fixe, soit

y=KH.y=KH.

J’appelle ε\varepsilon l’angle de KHKH avec l’horizon, \ell la longueur HGHG, ss et SS les sections du tube et du cylindre ; ee la distance EQEQ, dd, la distance QGQG.

Soit α\alpha l’angle de HGHG (ou de EFEF) avec la verticale, ou bien encore l’angle de QGQG avec l’horizontale ; soit x=LQx=LQ.

Il vient :

z1z2=ysinε,z2z3=cosα\displaystyle z_{1}–z_{2}=y\sin\varepsilon,\qquad z_{2}–z_{3}=\ell\cos\alpha
z4z3=dsinα,z5z4=xcosα\displaystyle z_{4}–z_{3}=d\sin\alpha,\qquad z_{5}–z_{4}=x\cos\alpha

Equilibre du gaz

Sa pression est g(z1z5)g(z_{1}–z_{5}) ; son volume est S(ex)S(e–x) d’où :

g(z1z5)(ex)=const.g(z_{1}–z_{5})(e–x)=\text{const.} (1)

Volume du mercure

Ce volume devient, à une constante près :

Sx+sySx+sy

d’où :

Sx+sy=const.;Sdx+sdy=0Sx+sy=\text{const.};\qquad Sdx+sdy=0 (2)

En remplaçant z1z5z_{1}–z_{5} par sa valeur, il vient :

z1z5=ysinε+cosαdsinαxcosαz_{1}–z_{5}=y\sin\varepsilon+\ell\cos\alpha–d\sin\alpha–x\cos\alpha

ou pour α=0\alpha=0, ε\varepsilon très petit

z1z5=yϵ+xz_{1}–z_{5}=y\epsilon+\ell–x

En différentiant (1) logarith. il vient :

dgg+εdy-dxyε+-x-dxe-x=0.\frac{dg}{g}+\frac{\varepsilon dy-dx}{y\varepsilon+\ell-x}-\frac{dx}{e-x}=0. (3)

En tenant compte de (2) et en négligeant yεy\varepsilon au dénomin. :

dgg+dy[ε-x+sS(1-x+1e-x)]=0\frac{dg}{g}+dy\left[\frac{\varepsilon}{\ell-x}+\frac{s}{S}\left(\frac{1}{\ell% -x}+\frac{1}{e-x}\right)\right]=0

Il faut donc pour que la formule de M. Bouquet de la Grye33endnote: 3 Bouquet de la Grye s’est contenté de reprendre une formule de Gabriel Lippmann (Bouquet de la Grye 1893, 343). soit applicable que ε\varepsilon soit négligeable par rapport à

sS=112000000=150e de seconde.\frac{s}{S}=\frac{1}{12000000}=\frac{1}{50^{\textrm{e}}}\text{ de seconde}.

Si ε=\varepsilon= une minute le terme en sS\frac{s}{S} est à peu près si exe–x compar. à x\ell–x, est à peu près dis-je 3000 fois plus petit que l’autre.

Influence de α\alpha

Soit ε=α+φ\varepsilon=\alpha+\varphi ; α\alpha et φ\varphi très petits :

z1z5=y(α+φ)+xα.d,z_{1}–z_{5}=y(\alpha+\varphi)+\ell–x–\alpha.d,

d’où :

dz1-z5z1-z5=(y-d)dα+-dx+φdyz1-z5\frac{dz_{1}-z_{5}}{z_{1}-z_{5}}=\frac{(y-d)d\alpha+\ell-dx+\varphi dy}{z_{1}-% z_{5}}

Ou en négligeant α\alpha et φ\varphi au dénominateur :

dz1-z5z1-z5=(y-d)dα+-dx+φdy-x\frac{dz_{1}-z_{5}}{z_{1}-z_{5}}=\frac{(y-d)d\alpha+\ell-dx+\varphi dy}{\ell-x}

L’équation (3) devient donc :

dgg+dy[φ-x+sS(1-x+1e-x)]+(y-d)dα-x\frac{dg}{g}+dy\left[\frac{\varphi}{\ell-x}+\frac{s}{S}\left(\frac{1}{\ell-x}+% \frac{1}{e-x}\right)\right]+\frac{(y-d)d\alpha}{\ell-x}

Quelle est la valeur de dαd\alpha qui fera le même effet que dgg=1100000\frac{dg}{g}=\frac{1}{100000} ; c’est :

dα=1100000lxydd\alpha=\frac{1}{100000}\frac{l–x}{y–d}

Si le tube est vertical, il vient :

z1z5=(y+x)cosαα.dz_{1}–z_{5}=(y+\ell–x)\cos\alpha–\alpha.d

d’où, en faisant varier seulement α\alpha

d(z1-z5)z1-z5=-d.dα-x\frac{d(z_{1}-z_{5})}{z_{1}-z_{5}}=-\frac{d.d\alpha}{\ell-x}

Influence de \ell.

En supposant \ell variable et ε=0\varepsilon=0

dgg+d-dx-x-dxe-x\frac{dg}{g}+\frac{d\ell-dx}{\ell-x}-\frac{dx}{e-x}

Influence de la TT du merc.

au lieu de

Sdx+sdy=0Sdx+sdy=0

il vient ; (si le tube horizontal seul est chauffé)

Sdx+sdy=dVSdx+sdy=dV

de sorte que

dx=-sdyS+dVSdx=-\frac{sdy}{S}+\frac{dV}{S}

et :

dgg+dy[ε-x+sS(1-x+1e-x)]-dVS(1-x+1e-x)\frac{dg}{g}+dy\left[\frac{\varepsilon}{\ell-x}+\frac{s}{S}\left(\frac{1}{\ell% -x}+\frac{1}{e-x}\right)\right]-\frac{dV}{S}\left(\frac{1}{\ell-x}+\frac{1}{e-% x}\right)

en posant un instant

1yε+-x=A,A+1e-x=B.\displaystyle\frac{1}{y\varepsilon+\ell-x}=A,\qquad A+\frac{1}{e-x}=B.
dgg+dy(εA+sSB)-BdVS\displaystyle\frac{dg}{g}+dy\left(\varepsilon A+\frac{s}{S}B\right)-\frac{BdV}% {S}

AD 4p. Bureau des longitudes, Procès-verbaux du Bureau des longitudes, séance du 15 février 1893.

Time-stamp: " 4.05.2020 00:42"

Notes

  • 1 Le manuscrit inséré au procès-verbaux du Bureau des longitudes est précédé d’une annotation de main inconnue : “Note de M. Poincaré, à annexer au procès-verbal de la séance du 15 Février 1893”. La note de Poincaré concerne la précision théorique d’un appareil de mesure des variations de la gravité proposé par Anatole Bouquet de la Grye. Ce dernier a communiqué une description de l’appareil à l’Académie des sciences le 20 février 1893 (Bouquet de la Grye 1893). Lors de la séance du 22 février du Bureau des longitudes, Poincaré a résumé le résultat de son analyse, en soulignant l’effet de l’angle décrit par l’axe du tube supérieur de l’appareil par rapport au vertical. Cet angle fut négligé dans le calcul de Gabriel Lippmann, repris dans la note de Bouquet de la Grye. Voici l’extrait du procès-verbal: “Il en résulte que, si le tube supérieur est rigoureusement horizontal, le coefficient de multiplication est égal au rapport S/sS/s des sections du réservoir et du tube vertical. Mais, si le tube supérieur présente une inclinaison égale à ε\varepsilon, le rapport dont il s’agit a pour expression 1/(aε+bs/S)1/(a\varepsilon+bs/S). Si ε\varepsilon a une valeur sensible, cela revient à 1/aε1/a\varepsilon. M. Poincaré a trouvé que, pour que aϵa\epsilon disparaisse devant bs/Sbs/S, il faut que ε\varepsilon soit très petit, plus petit que 1"/50 ; toutefois son calcul n’est pas définitif, parce qu’on n’avait pas les dimensions exactes des diverses pièces de l’appareil de M. Bouquet de la Grye.” (Procès-verbaux du Bureau des longitudes, séance du 22 février 1893)
  • 2 Poincaré reprend certains éléments de la description de l’appareil publiée dans les Comptes rendus. Son schéma néglige les détails inutiles à son analyse, comme on peut le constater en comparant le dessin paru dans la note de Bouquet de la Grye.
  • 3 Bouquet de la Grye s’est contenté de reprendre une formule de Gabriel Lippmann (Bouquet de la Grye 1893, 343).

Références

  • A. Bouquet de la Grye (1893) Description d’un instrument pouvant rendre apparentes les petites variations de l’intensité de la pesanteur. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 116 (8), pp. 341–345. Link Cited by: endnote 1, endnote 3.