7-1-3. Note sur un appareil de mesure des variations de la gravité

[Ca. 15.02.1893]

Soit $ABCD$ le vase cylindrique

$DGHK$ le tube deux fois coudé contenant le mercure

$EF$ l’axe du cylindre $ABCD$

$L$ le point où cet axe rencontre le niveau du mercure, $K$ le ménisque, $Q$ le pied de la perpendiculaire abaissée du point $G$ sur $EF$.

Soient $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, $z_{4}$, $z_{5}$ les ordonnées des points $K$, $H$, $G$, $Q$, $L$ au dessus d’un plan horizontal fixe, soit

$$y=KH.$$

J’appelle $\varepsilon$ l’angle de $KH$ avec l’horizon, $\ell$ la longueur $HG$, $s$ et $S$ les sections du tube et du cylindre ; $e$ la distance $EQ$, $d$, la distance $QG$.

Soit $\alpha$ l’angle de $HG$ (ou de $EF$) avec la verticale, ou bien encore l’angle de $QG$ avec l’horizontale ; soit $x=LQ$.

Il vient :

$$z_{1}\textendash z_{2}=y\sin\varepsilon,\qquad z_{2}\textendash z_{3}=\ell\cos\alpha$$

$$z_{4}\textendash z_{3}=d\sin\alpha,\qquad z_{5}\textendash z_{4}=x\cos\alpha$$

Equilibre du gaz

Sa pression est $g(z_{1}\textendash z_{5})$ ; son volume est $S(e\textendash x)$ d’où :

$$g(z_{1}\textendash z_{5})(e\textendash x)=\text{const.}$$ (1)

Volume du mercure

Ce volume devient, à une constante près :

$$Sx+sy$$

d’où :

$$Sx+sy=\text{const.};\qquad Sdx+sdy=0$$ (2)

En remplaçant $z_{1}\textendash z_{5}$ par sa valeur, il vient :

$$z_{1}\textendash z_{5}=y\sin\varepsilon+\ell\cos\alpha\textendash d\sin\alpha\textendash x\cos\alpha$$

ou pour $\alpha=0$, $\varepsilon$ très petit

$$z_{1}\textendash z_{5}=y\epsilon+\ell\textendash x$$

En différentiant (1) logarith. il vient :

$$\frac{dg}{g}+\frac{\varepsilon dy-dx}{y\varepsilon+\ell-x}-\frac{dx}{e-x}=0.$$ (3)

En tenant compte de (2) et en négligeant $y\varepsilon$ au dénomin. :

$$\frac{dg}{g}+dy\left[\frac{\varepsilon}{\ell-x}+\frac{s}{S}\left(\frac{1}{\ell-x}+\frac{1}{e-x}\right)\right]=0$$

Il faut donc pour que la formule de M. Bouquet de la Grye soit applicable que $\varepsilon$ soit négligeable par rapport à

$$\frac{s}{S}=\frac{1}{12000000}=\frac{1}{50^{\textrm{e}}}\text{ de seconde}.$$

Si $\varepsilon=$ une minute le terme en $\frac{s}{S}$ est à peu près si $e\textendash x$ compar. à $\ell\textendash x$, est à peu près dis-je 3000 fois plus petit que l’autre.

Influence de $\alpha$

Soit $\varepsilon=\alpha+\varphi$ ; $\alpha$ et $\varphi$ très petits :

$$z_{1}\textendash z_{5}=y(\alpha+\varphi)+\ell\textendash x\textendash\alpha.d,$$

d’où :

$$\frac{dz_{1}-z_{5}}{z_{1}-z_{5}}=\frac{(y-d)d\alpha+\ell-dx+\varphi dy}{z_{1}-z_{5}}$$

Ou en négligeant $\alpha$ et $\varphi$ au dénominateur :

$$\frac{dz_{1}-z_{5}}{z_{1}-z_{5}}=\frac{(y-d)d\alpha+\ell-dx+\varphi dy}{\ell-x}$$

L’équation (3) devient donc :

$$\frac{dg}{g}+dy\left[\frac{\varphi}{\ell-x}+\frac{s}{S}\left(\frac{1}{\ell-x}+\frac{1}{e-x}\right)\right]+\frac{(y-d)d\alpha}{\ell-x}$$

Quelle est la valeur de $d\alpha$ qui fera le même effet que $\frac{dg}{g}=\frac{1}{100000}$ ; c’est :

$$d\alpha=\frac{1}{100000}\frac{l\textendash x}{y\textendash d}$$

Si le tube est vertical, il vient :

$$z_{1}\textendash z_{5}=(y+\ell\textendash x)\cos\alpha\textendash\alpha.d$$

d’où, en faisant varier seulement $\alpha$

$$\frac{d(z_{1}-z_{5})}{z_{1}-z_{5}}=-\frac{d.d\alpha}{\ell-x}$$

Influence de $\ell$.

En supposant $\ell$ variable et $\varepsilon=0$

$$\frac{dg}{g}+\frac{d\ell-dx}{\ell-x}-\frac{dx}{e-x}$$

Influence de la $T$ du merc.

au lieu de

$$Sdx+sdy=0$$

il vient ; (si le tube horizontal seul est chauffé)

$$Sdx+sdy=dV$$

de sorte que

$$dx=-\frac{sdy}{S}+\frac{dV}{S}$$

et :

$$\frac{dg}{g}+dy\left[\frac{\varepsilon}{\ell-x}+\frac{s}{S}\left(\frac{1}{\ell-x}+\frac{1}{e-x}\right)\right]-\frac{dV}{S}\left(\frac{1}{\ell-x}+\frac{1}{e-x}\right)$$

en posant un instant

$$\frac{1}{y\varepsilon+\ell-x}=A,\qquad A+\frac{1}{e-x}=B.$$

$$\frac{dg}{g}+dy\left(\varepsilon A+\frac{s}{S}B\right)-\frac{BdV}{S}$$

AD 4p. Bureau des longitudes, Procès-verbaux du Bureau des longitudes, séance du 15 février 1893.

Time-stamp: " 4.05.2020 00:42"

Notes

• 1 Le manuscrit inséré au procès-verbaux du Bureau des longitudes est précédé d’une annotation de main inconnue : “Note de M. Poincaré, à annexer au procès-verbal de la séance du 15 Février 1893”. La note de Poincaré concerne la précision théorique d’un appareil de mesure des variations de la gravité proposé par Anatole Bouquet de la Grye. Ce dernier a communiqué une description de l’appareil à l’Académie des sciences le 20 février 1893 (Bouquet de la Grye 1893). Lors de la séance du 22 février du Bureau des longitudes, Poincaré a résumé le résultat de son analyse, en soulignant l’effet de l’angle décrit par l’axe du tube supérieur de l’appareil par rapport au vertical. Cet angle fut négligé dans le calcul de Gabriel Lippmann, repris dans la note de Bouquet de la Grye. Voici l’extrait du procès-verbal: “Il en résulte que, si le tube supérieur est rigoureusement horizontal, le coefficient de multiplication est égal au rapport $S/s$ des sections du réservoir et du tube vertical. Mais, si le tube supérieur présente une inclinaison égale à $\varepsilon$, le rapport dont il s’agit a pour expression $1/(a\varepsilon+bs/S)$. Si $\varepsilon$ a une valeur sensible, cela revient à $1/a\varepsilon$. M. Poincaré a trouvé que, pour que $a\epsilon$ disparaisse devant $bs/S$, il faut que $\varepsilon$ soit très petit, plus petit que 1"/50 ; toutefois son calcul n’est pas définitif, parce qu’on n’avait pas les dimensions exactes des diverses pièces de l’appareil de M. Bouquet de la Grye.” (Procès-verbaux du Bureau des longitudes, séance du 22 février 1893)
• 2 Poincaré reprend certains éléments de la description de l’appareil publiée dans les Comptes rendus. Son schéma néglige les détails inutiles à son analyse, comme on peut le constater en comparant le dessin paru dans la note de Bouquet de la Grye.
• 3 Bouquet de la Grye s’est contenté de reprendre une formule de Gabriel Lippmann (Bouquet de la Grye 1893, 343).