7-3-18. H. Poincaré: Rapport sur la thèse de Louis Desaint

[Ca. 13.11.1897]

M. Desaint a déposé une thèse intitulée Sur quelques points de la théorie des fonctions et où il s’est principalement proposé pour but de limiter la région où peuvent se trouver les zéros d’une fonction dont l’expression analytique est donnée.

Il est clair que si les projections de plusieurs vecteurs sur [un] certain axe sont toutes de même signe, le somme géométrique de ces vecteurs ne pourra être nulle. C’est cette idée fort simple qui a servi à l’auteur de point de départ.

M. Desaint considère d’abord les fonctions définies par des séries dont tous les termes sont des rationnels. Si par exemple le terme général de la série est de la forme $\frac{P}{Q}$, $P$ et $Q$ étant deux polynômes de degré donné ; si le rapport des coefficients des termes de degré le plus élevé de ces deux polynômes est réel positif ; si enfin les zéros de $P$ et de $Q$ sont tous situés à l’intérieur d’un cercle de rayon donné, on peut trouver une limite supérieure du module des zéros de la somme de la série ; et l’application de cette règle donne immédiatement une limite supérieure du module des racines d’une équation algébrique quelconque.

Un théorème analogue a lieu pour les séries de la forme $\Sigma\frac{A}{x-a}$ quand la série $\Sigma A$ est absolument convergente. Dans d’autres cas la limite de la région où la fonction ne peut s’annuler, au lieu d’être un cercle, est une hyperbole ou une parabole.

Mais je crois devoir surtout attirer l’attention sur certaines applications à la théorie des fonctions entières. On s’est souvent demandé si le théorème de Rolle s’applique aux fonctions entières, c’est-à-dire si les racines de la dérivée sont toujours toutes réelles quand celles de la fonction primitive le sont. On sait que le théorème est vrai des fonctions du genre 0 et qu’il n’est pas toujours vrai des fonctions de genre supérieur. M. Desaint indique un certain nombre de cas où le théorème est vrai.

Dans le second chapitre, l’auteur étudie des fonctions définies par des intégrales définies simples ou multiples où la fonction sous le signe $\int{}$ est une fonction rationnelle d’un paramètre. On sait quel parti M. Hermite a tiré de ce genre de fonctions.

L’analogie de ces intégrales avec les séries à termes rationnels étudiées dans le 1^er Chapitre est évidente et on comprend que des procédés analogues leur soient applicables immédiatement.

Mais une fonction quelconque peut se mettre sous la forme d’une pareille intégrale définie et cela de bien des manières dont la plus connue est celle qui est donnée par le théorème de Cauchy :

$$2irf(x)=\int\frac{f(z)dz}{z-x}.$$

On conçoit donc la possibilité de nombreuses applications.

L’auteur s’occupe en particulier de l’intégrale

$$\int_{0}^{z}\frac{\varphi(z)dz}{[\psi(z)]^{\mu}}.$$

où $\varphi$ et $\psi$ sont deux polynômes et $\mu$ un nombre fractionnaire ; il limite la région où cette intégrale peut s’annuler.

Je citerai aussi une application aux intégrales hypergéométriques.

Dans la seconde partie, M. Desaint donne des théorèmes qui s’appliquent à toutes les fonctions holomorphes dans une certaine étendue et prenant des valeurs données sur un cercle ; ces théorèmes permettent de limiter la région où ces fonctions peuvent prendre une valeur donnée.

En résumé M. Desaint a fait preuve dans ce travail d’un esprit original et d’une grande connaissance de la théorie des fonctions ; nous sommes d’avis qu’il y a lieu de l’autoriser à faire imprimer sa thèse.

Poincaré

ADS 4p. AJ16 5536, Archives nationales françaises. Édité par Gispert (1991, 370–371).

Time-stamp: "30.07.2020 21:23"

Notes

• 1 Émile Picard a participé au jury de soutenance, et a rajouté quelques lignes au rapport rédigé par Poincaré: “Je n’ai rien à ajouter au rapport de M. Poincaré sur la première thèse ; quant à la seconde thèse, elle a été soutenue avec distinction par M. Desaint, qui possède complètement les théories difficiles d’algèbre et la théorie des nombres, que nous lui avions proposées. Nous lui avons accordé le titre de docteur avec mention honorable. Le 13 Novembre 1897. Em. Picard”.
• 2 Voir Desaint 1897. En 1900, deux notes de Desaint sur la représentation des fonctions furent présentées à l’Académie des sciences, d’abord le 9 avril par Poincaré (Desaint, 1900b), ensuite par Picard, le 14 mai (Desaint, 1900a). Mittag-Leffler s’en fut étonné, surtout lorsque Phragmén remarqua de graves erreurs de raisonnement dans un manuscrit de Desaint que Poincaré proposait pour publication dans les Acta Mathematica. A ce propos, voir Poincaré à Mittag-Leffler, 19.04.1900 (§ 1-1-154), et Mittag-Leffler à Poincaré, 17.05.1900 (§ 1-1-157).
• 3 Variante: “…plusieurs vecteurs sur une direction”.
• 4 Variante: “Certains de ces théorèmes s’appliquent à des séries de Mais je crois devoir …”.
• 5 Variante: “…par le théorème de Cauchy. On conçoit donc la possibilité”.