7-3-8. H. Poincaré: Rapport sur la thèse de Louis Gérard

[Before 14.09.1892]

Rapport sur une thèse présentée par M. Gérard, professeur au lycée de Brest.

Dans le travail qu’il soumet au jugement de la Faculté, M. Gérard s’est proposé de présenter sous une forme nouvelle et plus élémentaire la suite de déductions logiques qui constitue ce que l’on appelle la géométrie non euclidienne. Il semble s’être surtout attaché à n’employer que des procédés de raisonnement analogues à ceux qui sont familiers à Euclide. Les notations et les méthodes du calcul infinitésimal sont donc bannies de son exposition; pas complètement cependant, car on trouve dans la chaîne de ses déductions plusieurs passages à la limite qu’il lui aurait été d’ailleurs très difficile d’éviter.

Se proposant d’établir la relation qui lie les trois côtés d’un triangle rectangle, il démontre d’abord un assez grand nombre d’inégalités qui lui permettent de resserrer entre deux limites la valeur de l’hypoténuse exprimée en fonction des deux autres côtés. Ces deux limites pouvant être aussi rapprochées qu’on le veut, la valeur exacte peut s’en déduire immédiatement.

C’est cette première partie de la thèse qui est la plus originale et la plus intéressante. Citons en passant une démonstration de ce principe qu’un segment est superposable au même segment retourné bout pour bout. Elle est ingénieuse quoique l’exposition puisse en être simplifiée.

Dans la deuxième partie l’auteur esquisse une géométrie analytique non-euclidienne où il emploie trois coordonnées $x$, $y$, $z$ liées par la relation :

$$x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$$

de façon à mettre en évidence l’analogie avec la géométrie sphérique. Il cherche ensuite à construire avec la règle et le compas diverses figures et des longueurs définies de diverse façons; il arrive à une règle générale (tout à fait analogue à celle de la géométrie euclidienne) et permettant de reconnaître si une longueur est susceptible d’être construite; il reconnait aussi, par une application très simple du problème de M. Hermite, l’impossibilité de la construction de ce que Bolyai appelle l’unité naturelle de longueur.

Enfin la thèse se termine par diverses considérations sur la mesure des aires.

La thèse de M. Gérard ne nous apprend rien d’essentiellement nouveau sur la géométrie non euclidienne; mais le travail est consciencieux et dénote de sérieuses qualités d’esprit. Le mode d’exposition est original et à certains points de vue préférable à ceux qui sont employés dans la plupart des ouvrages antérieurs. Nous sommes donc d’avis qu’il y a lieu d’en autoriser l’impression.

Poincaré

P. Appell

ADS 4p. AJ/16/5535, Archives nationales françaises. Slightly emended from Gispert (1991, 354–355).

Time-stamp: "10.09.2025 16:00"

Notes

• 1 The manuscript features a date written in an unknown hand, “6 Décembre 1892”, which is that of Louis Gérard’s defense of his Ph.D. thesis at the Paris Faculty of Science (Gérard, 1892), before a jury composed of Émile Picard, Poincaré and Paul Appell. Poincaré’s report is followed by an annotation in Appell’s hand: “Questions proposées par la Faculté: Fonctions doublement périodiques de troisième espèce. (demander l’approbation de M. Le Doyen)”. The authorization to defend the thesis was delivered by the dean of the science faculty, Gaston Darboux, and the authorization to publish the thesis was delivered by the vice-rector, Octave Gréard, both on 13 September, 1892 (Gérard, 1892, 110). Appell, who presided the defense, wrote the brief post-defense report, which reads as follows: “Rapport sur la soutenance de la thèse de M. Gérard. Monsieur Gérard a montré à l’examen oral d’excellentes qualités de professeur – rigueur et clarté. Dans sa seconde thèse, (propositions données par la Faculté), il a fait preuve d’une connaissance approfondie de la théorie des fonctions elliptiques de troisième espèce, à l’exposition de laquelle il a apporté quelques perfectionnements qui lui sont personnels. Paris le 6 décembre 1892. P. Appell”. On the content of Gérard’s thesis and its reception, see Voelke (2024).