4-52-12. H. Poincaré. Rapport sur les titres de M. Sophus Lie

[Ca. avril–juin 1892]

Section de Géométrie

Présentation de candidat à une place de correspondant

Rapport sur les Titres de M. Sophus Lie par M. Poincaré

M. Sophus Lie, que la section présente en première ligne, est un géomètre norvégien; il a longtemps enseigné à l’Université de Christiania; mais il y a quelques années sa réputation croissante le fit appeler hors de sa patrie, sur un théâtre plus important. Il est aujourd’hui professeur dans l’une des plus grandes universités d’Allemagne, celle de Leipzig. Les travaux de M. Lie sont trop nombreux pour que je puisse songer à donner de chacun d’eux une analyse même sommaire et d’autre part la simple énumération en serait fastidieuse. Je serai donc obligé à bien des omissions, mais je préfère m’y résigner pour pouvoir insister un peu sur ses plus belles découvertes et sur les idées générales qui l’y ont conduit; j’espère montrer ainsi la remarquable unité de sa vie scientifique et la marche logique de sa pensée, ce qui sera je crois la meilleure manière de justifier le choix de la section.

C’est depuis le commencement du siècle que les géomètres ont compris l’importance des transformations géométriques et qu’ils ont commencé à en faire usage consciemment et systématiquement. Si l’on transforme une figure d’après une loi bien déterminée, par exemple d’après les règles de la perspective, on transforme en même temps ses diverses propriétés. D’un théorème connu on déduit alors aisément un théorème différent qui peut être nouveau et utile. On comprend ce qu’on peut attendre d’un pareil instrument de découverte quand il est habilement manié.

De là l’intérêt qui s’attarde à l’invention de transformations nouvelles. M. Lie était préparé à entrer dans cette voie par les leçons de Clebsch et par l’étude des travaux de Chasles, et ses efforts ne tardèrent pas à être récompensés par le succès. Il a surtout étudié les transformations de contact qui portent sur les éléments de surface et peuvent changer des points en lignes ou en surfaces ou des lignes en surfaces; telle est la transformation par polaires réciproques. Telle est aussi celle qui porte le nom de M. Lie et qui change les droites en sphères. Cette découverte du savant norvégien est susceptible de curieuses applications, car elle relie l’un à l’autre deux chapitres de la géométrie, et M. Darboux dans sa Théorie Générale des Surfaces l’a justement appelée «  l’une des plus belles conquêtes de la Géométrie moderne  ». Mais M. Sophus Lie ne se cantonna pas longtemps dans l’étude des transformations isolées, et ses recherches sur les groupes qu’elles peuvent former devaient être singulièrement plus fécondes. On appelle groupe l’ensemble de deux ou plusieurs transformations et de toutes les combinaisons qu’on peut en faire.

Bien que le mot soit nouveau et date de soixante ans à peine, il est permis de dire que chacune des branches de la science mathématique n’est autre chose que l’étude d’un groupe. Si dans les objets de cette science, on élimine par abstraction les éléments qualitatifs sur lesquels le raisonnement géométrique ne peut avoir de prise, et si l’on pousse cette analyse jusqu’au bout, l’élément purement formel qui subsistera se réduira à quelques combinaisons soumises à certaines lois c’est-à-dire à un groupe. Ces éléments qualitatifs, cette matière pour ainsi dire peut changer sans que la forme de ces combinaisons soient altérée, de même que les règles de l’arithmétique sont indépendantes de la nature des objets sur lesquels on opère.

M. Lie est un des premiers géomètres qui ait eu de cette vérité une conscience nette et qui se soit élevé de propos délibéré à ce point de vue d’où les sciences les plus diverses, l’algèbre, l’analyse, la géométrie paraissent se confondre dans une synthèse inattendue. Les groupes continus auxquels M. Lie a presque exclusivement consacré ses efforts sont les plus intéressants tant par leurs applications que par leur rapports avec la métaphysique de calcul intégral. On pourrait croire au premier abord qu’en s’attaquant à un concept aussi général, on perde le droit d’en rien affirmer. Toutes les barrières étaient enlevées qui s’opposaient à l’invention de combinaisons nouvelles, il semble que tout devienne également possible. On est donc étonné de voir M. Lie arriver à des résultats d’une simplicité imprévue. Pour les groupes d’ordre fini, c’est-à-dire pour ceux qui ne contiennent qu’un nombre fini de transformations infinitésimales, le savant norvégien trouve un théorème aussi élégant que surprenant. Si le nombre des variables indépendantes est donné, ces groupes sont en nombre limité. Pour les groupes d’ordre infini, les résultats sont analogues, quoique moins nets. Il est inutile de m’étendre sur la portée philosophique de ce théorème qui peut nous aider à comprendre pourquoi il existe une science mathématique pure, indépendante de toute expérience. Je préfère arriver tout de suite aux applications.

Depuis que Jacobi a montré comment les principes fondamentaux de la Dynamique se rattachent aux propriétés des équations aux dérivées partielles du 1^er ordre, les géomètres attribuent plus de prix encore à toutes les découvertes qui se rapportent à ces équations. Or les notions nouvelles introduites par M. Lie dans la science jettent sur cette question un jour inattendu. Dire qu’une surface satisfait à une équation aux dérivées partielles, c’est-à-dire qu’elle n’est pas altérée par une certaine transformation de contact et infinitésimale. L’intégration de cette équation se ramène alors à l’étude du groupe dérivé de cette transformation ou de celles qui lui sont permutables. Le théorème célèbre qui permet de découvrir de nouvelles intégrales par de simples différentiations, ce théorème qu’un géomètre illustre appelait le plus extraordinaire de l’analyse, n’a plus rien de mystérieux. Il devient une conséquence presqu’évidente des propriétés générales des groupes.

La méthode de M. Lie n’est pas moins précieuse pour l’étude des équations différentielles ordinaires. On sait combien sont peu nombreux les cas où l’intégration en est possible et que notre principale ressource pour en trouver de nouveau est de chercher une transformation qui ramène un type donné d’équations à un type intégrable déjà connu; pour reconnaître s’il en existe une, dans un groupe donné, il faut déterminer les invariants c’est à dire chercher quelles sont les propriétés de ces équations qui ne sont pas altérées par les transformations du groupe. Si les invariants de l’équation donnée sont les mêmes que ceux d’une équation intégrable la transformation est possible, sinon il est inutile de la chercher. C’est ainsi qu’a procédé notre regretté confrère Halphen, mais en se restreignant aux équations linéaires et à un groupe particulier. M. Sophus Lie a appliqué la même méthode dans toute sa généralité, à toutes les formes d’équations et à tous les groupes.

La même théorie permet d’aborder le problème par une autre face. Certaines équations différentielles ne changent pas quand on leur applique les transformations d’un certain groupe. Plus difficile à traiter à certains égards, elles présentent un grand intérêt; c’est à cette catégorie en effet qu’appartiennent les types intégrables et la connaissance de leur groupe permet de reconnaître facilement ces types; les cas d’intégrabilité ne nous apparaissent plus désormais comme isolés les uns des autres, ainsi qu’ils l’étaient autrefois. Tout un chapitre de la science, qui n’était guère qu’un recueil d’artifices analytiques ingénieux devient ainsi un grand ensemble systématique et satisfaisant pour l’esprit.

Je passe sur bien d’autres applications des mêmes principes pour arriver tout de suite à une question dont ils nous donnent la meilleure solution et qui préoccupe depuis longtemps à la fois les mathématiciens et les philosophes. Je veux parler des hypothèses fondamentales de la Géométrie. C’est surtout depuis l’invention des géométries non-euclidiennes qu’on a cherché à se rendre compte du nombre de ces hypothèses et de leur véritable nature. Si l’on examine avec attention les procédés de raisonnement d’Euclide, on verra qu’ils consistent presque toujours à transporter deux figures l’une sur l’autre pour les superposer. La science qu’il a créée est donc la théorie des déplacements des figures; mais ces déplacements sont des transformations d’une nature particulière et ils forment un groupe. La géométrie n’est donc autre chose que l’étude d’un certain groupe et les géométries non-euclidiennes ont de même pour objet d’autres groupes analogues. Aussi, les méthodes de M. Lie nous fournissent la clef de cet intéressant problème et le théorème qu’il a découvert nous explique-t-il pourquoi l’on ne peut imaginer qu’un nombre fini de géométries. Cette solution avait été entrevue par Helmholtz mais avec moins de netteté.

Je ne veux pas parler de ceux des travaux de M. Lie qui ne se rattachent pas directement à la théorie des groupes; je ne puis pourtant passer entièrement sous silence ses élégantes recherches sur les surfaces minima et sur les surfaces à courbure constante, des surfaces très intéressantes pour le géomètre et l’analyste et très importantes pour la théorie de capillarité, je veux dire; mais je me bornerai à les signaler. Ce que j’ai dit suffit en effet, je crois, pour expliquer la place que son nom occupe sur la liste.

Poincaré

ADS. Archives de l’Académie des sciences de Paris. Transcribed in Nabonnand et al. (2024).

Time-stamp: "27.04.2024 21:23"

Notes

• 1 Poincaré was assigned by the geometry section of the Paris Academy of Sciences to write this report on Lie’s scientific contributions, in view of the upcoming election of a replacement for Leopold Kronecker as Correspondent for the section. In a letter to Lie in early April, 1892 (§ 4-52-8), Poincaré requested a publication list and a few content summaries. Lie was ranked first on the list of three candidates presented by the geometry section to the Academy, ahead of Luigi Cremona and H.A. Schwarz; on the strength of this ranking, and Poincaré’s favorable report, Lie was elected Correspondent in the first round on 7 June 1892, with thirty votes out of thirty-three (Comptes rendus 114, 1329).
• 2 Lie’s gesammelte Abhandlungen (Teubner, 1922–1960) take up seven volumes.
• 3 Alfred Clebsch and Michel Chasles.
• 4 Darboux (1887, 232). The discovery referred to by Darboux and Poincaré was published in Mathematische Annalen 5 (1872). On the history of Lie’s discovery, see Rowe (1989), Hawkins (2000, chap. 1).
• 5 On the application of Lie groups to the study of ordinary differential equations, see Lie and Engel (1888); Picard (1883, 1887); Vessiot (1892).
• 6 Helmholtz (1868); Lie (1890a, b).