7-3-9. H. Poincaré: Rapport sur la thèse d’Edmond Maillet

[Ca. 1892]

La thèse de M. Maillet a pour objet la théorie des substitutions de Gallois. Laissant de côté les équations algébriques, l’auteur s’est borné à considérer les groupes en eux-mêmes et il a démontré un assez grand nombre de théorèmes nouveaux.

Son travail débute avec un historique très lucide et par une bibliographie très complète, puis après une courte introduction, M. Maillet aborde son sujet principal. Le premier chapitre se rapporte aux groupes transitifs dont l’ordre égale le degré. Leur importance provient de ce qu’un groupe quelconque est isomorphe à un groupe appartenant à cette classe; et de ce qu’une équation algébrique quelconque admet une résolvante qui possède un pareil groupe; aussi MM. Jordan et Walther Dyck y ont consacré une partie de leurs efforts.

L’auteur complète et généralise les propositions découvertes par ces deux savants, simplifie quelques démonstrations et en fait diverses applications. Il étudie avec soin la correspondance entre les sous groupes contenus dans un pareil groupe et les répartitions possibles de ses lettres en systèmes de non-primitivité. Il retrouve ainsi le théorème de M. Dyck qui donne la condition nécessaire et suffisante pour qu’un groupe quelconque soit primitif et il en déduit un procédé de recherche des groupes primitifs qu’il applique à de nombreux exemples. La théorie des «   groupes conjoints   » fournit à M. Maillet une méthode pour construire des groupes primitifs jouissant de propriétés remarquables; il fait de cette méthode de nombreuses applications particulières.

Dans le second chapitre, l’auteur cherche à former les groupes transitifs de degré $N$ et de classes $N-1$, $N-2$ ou $N-3$, c’est-à-dire dont les substitutions déplacent au moins $N-1$, $N-2$ ou $N-3$ lettres. Il montre qu’un groupe transitif de classe $N-1$ et de degré $N$ est d’ordre $K(pK+1)$ avec $pK+1=N$, que les groupes de classe $N-2$ sont d’ordre $K(pK+1)[(pK+1)(qK+1)+1]$ avec $N=(pK+1)(qK+1)$; il démontre plusieurs théorèmes les uns applicables à tous les groupes de classe $N-1$, $N-2$ ou $N-3$ lettres, les autres à ceux de ces groupes pour lesquels $N$ ne dépasse pas la limite 100. Je citerai le théorème suivant, dont l’énoncé est plus simple : il n’existe aucun groupe de classe $4h+1$ et de degré $4h+i+1$ qui soit au moins $(i-1)$ fois transitif $(i\geq 2)$.

Le chapitre III contient une généralisation de la formule de Sylow qui donne l’ordre d’un groupe contenant un sous groupe d’ordre $p^{m}$. Voici en quoi consiste cette généralisation. Soit $G$ l’ordre d’un groupe et $H$ celui d’un sous groupe qui est contenu, $HN$ le nombre des substitutions du premier groupe échangeable au sous groupe, $K$ le nombre des transformés de ce sous groupe, on aura:

$$G=HNK$$

et

$$K=1+n_{1}p_{1}+n_{2}p_{2}+\dots+n_{i}p_{i},$$

si

$$H=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{i}^{a_{i}}$$

est la décomposition de $H$ en facteurs premiers. Ce résultat est obtenu grâce aux propriétés des groupes échangeables, il donne en même temps une démonstration nouvelle de la formule de Sylow.

En résumé, les propriétés découvertes par M. Maillet, quoique un peu compliquées dans leur énoncé, et un peu isolées les unes des autres, comme il arrive toujours dans cette théorie, n’en ont pas moins une grande importance et constituent un progrès considérable. On doit savoir gré à l’auteur d’avoir abordé un sujet aussi difficile et de nous avoir mieux fait connaître un domaine que bien peu de savants avaient jusqu’ici exploré. Nous sommes donc d’avis qu’il y a lieu d’autoriser l’impression de sa thèse.

Poincaré  J. Boussinesq  Ch. Hermite

ADS 2p. AJ/16/5535, Archives nationales françaises. Slightly emended from Gispert (1991, 355).

Notes

• 1 Edmond Maillet defended his thesis (Maillet, 1892) in December, 1892, on either the 6th or the 7th; both of these dates appear on the manuscript, the former in Hermite’s hand, the latter in an unknown hand. The jury was composed of Poincaré, Joseph Boussinesq, and Charles Hermite. Poincaré’s report is undated, while Hermite’s four-line report on the defense is dated by him to 6 December. Poincaré’s two-page report to the Paris Faculty of Sciences is a highly-condensed version of the 17-page analysis he crafted for the occasion, and which begins as follows: “La thèse de M. Maillet a pour objet la théorie des substitutions et des groupes de Gallois [sic]; l’auteur ne s’est occupé que des propriétés des groupes eux-mêmes en laissant de côté les équations algébriques qui y correspondent et il a démontré au sujet de ces groupes un certain nombre de théorèmes nouveaux. Le 1^er Chapitre se rapporte aux groupes transitifs dont l’ordre égale le degré; M. Dyck avait étudié ce genre de groupes et trouvé la condition nécessaire et suffisante pour que ces groupes soient primitifs. M. Maillet complète et généralise cette importante proposition et en fait quelques applications intéressantes. Il étudie avec soin la correspondance entre les sous groupes contenus dans un pareil groupe et les répartitions possibles de ses lettres en systèmes de non primitivité.” The manuscript was auctioned by Maison ALDE on 6 May, 2008, lot no. 299; its current location is unknown.
• 2 Évariste Galois (1811–1832).
• 3 Variant: “Le chapitre III contient une importante généralisation de la formule de Sylow…”.
• 4 A brief defense report by Hermite follows Poincaré’s report: “M^r Maillet a soutenu ses deux thèses d’une manière très satisfaisante. En considération du mérite de la thèse écrite qui a pour objet une question importante et très difficile, sur laquelle l’auteur a obtenu des résultats nouveaux et intéressants, la Faculté lui a accordé le titre de docteur, avec toutes boules blanches. Paris 6 Décembre 1892 Ch. Hermite”