7-3-15. H. Poincaré: Rapport sur la thèse de Jules Rougier

[Before 8 December, 1895]

Rapport sur la Thèse de M. Rougier

M. Rougier présente une thèse sur quelques sous groupes de 11^e classe du groupe modulaire.

M. Klein a étudié avec beaucoup de soin les sous-groupes du groupe modulaire, mais le sujet est tellement vaste et varié qu’il reste encore beaucoup à faire; M. Rougier a réussi à étendre nos connaissances sur cette question.

La transformation du 11^e ordre des fonctions elliptiques conduit à une équation qui admet deux résolvantes du 11^e degré qui ont été déjà étudiées par de nombreux géomètres. M. Klein a montré qu’on pourrait les former en partant de deux sous-groupes modulaires qui correspondent à deux surfaces de Riemann présentant une ramification particulière. On a trois points singuliers où s’échangent pour l’un trois cycles de trois feuillets, pour le second 4 cycles de 2 feuillets, pour le troisième 1 cycle de 11 feuillets.

Mais il y a 10 surfaces de Riemann qui ont cette même ramification et auxquelles correspondent 10 sous-groupes de 11^e classe; deux sont bien connus, ce sont ceux qui correspondent aux deux résolvantes dont je viens de parler; ce sont les 8 autres que M. Rougier s’est proposé d’étudier.

Dans la première partie de son travail, l’auteur résume d’après M. Klein les théories générales indispensables pour l’étude du problème qu’il s’est posé; il rappelle la définition des sous groupes du groupe modulaire et des fonctions modulaires correspondantes, les notions fondamentales de la théorie des groupes et de la représentation géométrique des groupes modulaires; il définit la classe et le genre d’un sous groupe et démontre le théorème dit théorème de ramification.

Rien de tout cela n’est nouveau, mais l’exposition est claire et élégante.

La seconde partie de la thèse est plus originale. L’auteur applique [à] un problème qu’il s’est posé une méthode de Hurwitz pour la détermination de toutes les surfaces de Riemann ayant une ramification données. On serait conduit à d’assez longs tâtonnements qu’on peut heureusement abréger beaucoup à l’aide de deux remarques qui permettent d’exclure immédiatement un grand nombre de cas.

L’auteur retrouve ensuite les mêmes résultats par un procédé entièrement élémentaire fondé sur la représentation géométrique des fonctions modulaires.

Ayant ainsi déterminé les dix groupes, M. Rougier démontre que deux d’entre eux et deux seulement sont des Congruenzgruppen. Il fait voir ensuite, en s’appuyant sur la théorie des groupes fuchsiens, que deux de ces groupes ne sont pas isomorphes entre eux.

M. Rougier passe ensuite à l’étude des résolvantes qui correspondent à ces sous-groupes; il étudie l’équation qui définit les coefficients des polynômes du 11^e degré dont elles dépendent et il s’occupe aussi de ces résolvantes au point de vue des problèmes de Galois.

La résolvante de Galois de ces résolvantes du 11^e degré correspond à un certain sous groupe invariant $\Gamma_{n}u$; l’auteur cherche pour chacun des dix groupes le minimum de $\nu$ et celui de $\Gamma_{\nu}$; il arrive à des chiffres très élevés.

Bien que les résultats obtenus soient pour la plupart négatifs, ils n’en sont pas moins importants et on doit en savoir gré à M. Rougier qui se trouvait en présence d’une question très difficile et nous estimons qu’il y a lieu de l’autoriser à faire imprimer sa thèse et à la soutenir devant la Faculté.

Poincaré

ADS 2p. AJ/16/5536, Archives nationales françaises. This transcription slightly corrects the one edited by Gispert (1991, 335–336).

Time-stamp: "30.10.2023 13:38"

Notes

• 1 The manuscript bears an annotation in an unknown hand: “28 février 1896”, which is the date of Jules Rougier’s defense at the Paris Faculty of Sciences of his thesis “Sur quelque sous-groupes de 11^e classe du group modulaire” (Rougier, 1896). The dean authorized the printing of the thesis on 7 December, 1895, which suggests that Poincaré’s report was filed by then. Charles Hermite presided the jury, while Poincaré and Paul Appell served as examiners. A short post-defense report by Hermite accompanies Poincaré’s report; it concludes as follows: “La Faculté a reconnu son mérite en lui accordant le titre de docteur avec mention honorable.”