7-3-21. H. Poincaré: Rapport sur la thèse de Maurice Servant

[Before 28 June 1899]

Rapport sur la Thèse de M. Servant

L’objet de la thèse est l’étude des cas où l’emploi des séries divergentes est légitime. Depuis Abel et Cauchy, cette question a été l’objet de nombreuses recherches et l’Académie des sciences l’a récemment mise au concours.

M. Servant considère une série de Taylor convergente dans un cercle de convergence et se propose de calculer en dehors de ce cercle la fonction analytique définie par cette série et d’étudier ses propriétés. On connaît la méthode de Borel pour l’étude de la question; elle repose sur la considération d’une fonction entière auxiliaire et permet de calculer la fonction à l’intérieur d’une certaine aire appelée polygone de sommabilité. M. Servant suppose d’abord qu’à l’intérieur d’une certaine aire la fonction n’a d’autres points singuliers que des pôles et il enseigne le moyen de déterminer tous ceux de ces pôles qui sont situés sur les côtés du polygone de sommabilité. Il généralise d’ailleurs d’une façon ingénieuse la méthode de M. Borel de façon à éviter certaines difficultés et à étendre le domaine de sommabilité.

L’auteur cherche ensuite à étendre le résultat aux points singuliers autres que les pôles; il y réussit pour une classe très étendue de singularités, à savoir pour toutes celles qui sont susceptibles d’être représentées par une intégrale de la forme

$$\int\frac{V(t)}{\alpha-z(t)}dt.$$

La recherche des points singuliers situés sur le cercle de convergence avait déjà fait l’objet de travaux très nombreux; néanmoins quelques lacunes subsistaient encore: M. Servant est parvenu à les combler.

Il donne ensuite des résultats qui sont applicables à des séries plus compliquées que celles de Taylor; et il démontre un théorème qui permet de calculer les points singuliers de la série $\sum c_{n}u_{n}(z)$ quand on connaît ceux des deux séries $\sum\lambda^{n}u_{n}(z)$ et $\sum c_{n}z^{n}$.

Dans le chapitre 2 l’auteur applique ces résultats au calcul de la valeur numérique de la fonction représentée par la série de Taylor en dehors du cercle de convergence. Sa méthode est applicable dans toute aire de sommabilité ne contenant que des points singuliers de la forme dont nous avons parlé plus haut. M. Servant cherche ensuite à calculer les diverses déterminations de la fonction inverse d’une fonction uniforme, en dehors du cercle de convergence de la série qui représente cette fonction inverse. Pour cela il se sert de la méthode commune qui permet de calculer les racines d’une équation algébrique $f=0$ par le rapport de deux termes consécutifs de la série qui représente la fonction $1/f$ et il la perfectionne convenablement. Le calcul des déterminations d’une série de Taylor à plusieurs variables se trouve ainsi ramené au calcul des zéros d’une série de Taylor à une variable.

Vient ensuite une ingénieuse généralisation de la méthode de M. Borel; les aires de sommabilité au lieu d’être limitées par des droites sont limitées par des courbes dont les principales propriétés sont étudiées. L’auteur arrive ainsi à une expression générale qui converge dans tout le plan sauf sur un ensemble dénombrable de courbes, pourvu que l’on n’ait que des points singuliers isolés.

Il s’agit alors d’étendre le résultat aux fonctions qui ont des lignes singulières. M. Servant y parvient dans un grand nombre de cas, par exemple toutes les fois que la fonction n’a pas deux points singuliers sur une droite quelconque passant par l’origine. Il s’occupe ensuite des méthodes fondées sur la représentation conforme. Après avoir rappelé le procédé classique qui permet de trouver un développement qui converge dans toute aire connexe qui comprend l’origine sans comprendre aucun point singulier de la fonction mais qui suppose réalisée la représentation conforme de cette aire sur un cercle, l’auteur indique sommairement un procédé qui permettrait de calculer la détermination de la fonction en un point quelconque quand on est parvenu à ce point par un chemin quelconque.

La thèse termine par diverses tentatives de généralisation; l’auteur cherche à appliquer une méthode analogue à celle de M. Borel à des séries autres que les séries de Taylor, par exemple aux séries dont les termes sont des polynômes de Legendre.

En résumé, le travail présenté à la Faculté contient un très grand nombre de vues ingénieuses et il y a lieu, à notre avis, d’autoriser M. Servant à faire imprimer sa thèse et à la soutenir.

ADS 3p. AJ/16/5537, Archives nationales françaises. Slightly emended from Gispert (1991, 378–379).

Time-stamp: "20.09.2023 18:38"

Notes

• 1 Le manuscrit porte une annotation: “28 juin 1899”.
• 2 The defense of Maurice Servant’s thesis, entitled “Essai sur les séries divergentes” (Servant, 1899a, b), took place on 28 June 1899, before a jury composed of Darboux (president), Poincaré, and Gabriel Koenigs. Servant (1877–1957) appears to have written his thesis under the supervision of Koenigs, whom he honored with a dedication: “hommage reconnaissant et dévoué”. Darboux wrote a brief post-defense report, which is not transcribed here.
• 3 Among the works on divergent series acknowledged by Servant are those of Stieltjes (1886); Poincaré (1886); Hadamard (1892); Fabry (1896).
• 4 Borel (1896a, b).