7-3-4. H. Poincaré: Rapport sur la thèse d’Henri Vogt

[Ca. 22.07.1889]

La thèse de M. Vogt a pour objet l’étude des groupes des équations linéaires. Un pareil groupe peut être considéré comme déterminé quand on connaît les invariants de toutes ses substitutions ; mais ces invariants eux-mêmes ne sont pas indépendants les uns des autres, de sorte que pour une équation du 2^d ordre à $n$ points singuliers, ils peuvent tous s’exprimer en fonctions de $3n-3$ d’entre eux.

C’est par l’étude de ces relations entre ces invariants que débute M. Vogt. Il montre que les invariant ne s’expriment pas rationnellement en fonctions de invariants fondamentaux ; mais qu’ils sont des fonctions rationnelles de invariants, lesquels sont liés entre eux par équations algébriques.

On peut faire subir à ces invariants certaines substitutions sans que l’équation différentielle correspondante change ; M. Vogt étudie ces substitutions qui sont birationnelles et très simples. Le système de équations algébriques dont je viens de parler admet donc un groupe de transformations birationnelles qui le laissent inaltéré.

L’auteur examine ensuite quelles doivent être les relations auxquelles doivent satisfaire les invariants fondamentaux :

1° Pour que l’équation soit réductible.

2° Pour que l’équation soit fuchsienne.

Il arrive à la solution de ce second problème par l’emploi d’une méthode géométrique élégante où il met en évidence les relations de la théorie des invariants fondamentaux avec celle des polygones analogues aux polygones fuchsiens que M. Schwarz a obtenus par l’emploi de la représentation conforme.

Ces relations n’ont lieu toutefois que si les invariants fondamentaux sont réels et satisfont à certaines inégalités.

Dans la seconde partie de sa thèse, l’auteur envisage les invariants fondamentaux comme fonctions des coefficients de l’équation différentielle. On sait que ces invariants s’expriment alors par des séries dont les coefficients sont des fonctions analogues au logarithme et que M. Poincaré a désignées par la lettre $\land$. M. Vogt examine comment se comportent les fonctions $\land$ et les invariants eux-mêmes quand on fait varier les points singuliers de l’équation différentielle. Il a reconnu que ce sont des fonctions multiformes dont les diverses déterminations s’échangent d’après certaines lois quand un des points singuliers tourne autour d’un autre point singulier.

Dans la 3^e partie de sa thèse, M. Vogt étudie au contraire les coefficients de l’équation différentielle considérés comme fonctions des invariants fondamentaux.

Le problème pouvait se poser de deux manières :

1° Étant donnés les invariants, trouver une équation linéaire qui admette le groupe correspondant et qui ait n points singuliers non donnés sans posséder aucun point à apparence singulière.

2° Étant donnés les invariants, trouver une équation linéaire qui admette le groupe correspondant et qui ait n points singuliers donnés avec un nombre aussi petit que possible de points à apparence singulière.

Le premier problème eût présenté beaucoup plus d’intérêt et il est probable qu’il eût conduit l’auteur à la découverte de transcendantes nouvelles, inaltérées par une groupe de substitutions Cremona. Mais il présentait de grandes difficultés et M. Vogt a préféré se borner au second problème qui lui a donné aussi d’intéressants résultats.

Les coëfficients de l’équation différentielle sont alors des fonctions multiformes des invariants et M. Vogt étudie la façon dont leurs diverses déterminations s’échangent entre elles ; mais il remarque en outre, et c’est là un des résultats les plus intéressants de sa thèse que ces coefficients et les invariants peuvent s’exprimer en fonctions uniformes de variables auxiliaires.

En résumé, le travail de M. Vogt est de nature à étendre nos connaissances sur les groupes des équations linéaires. Dans l’étude de cette difficile question, l’auteur a fait preuve de beaucoup de savoir et de sagacité, et nous sommes d’avis qu’il y a lieu d’autoriser l’impression de sa thèse.

Poincaré

La clarté et l’élégance de l’exposition de M. Vogt ont vivement frappé le jury.

F. Tisserand

Ém. Picard  P. Appell

ADS 2p. AJ 16 5534, Archives nationales françaises.

Time-stamp: "25.02.2024 13:25"

Notes

• 1 Le manuscrit porte une annotation de main inconnue: “22 Juillet 1889”.
• 2 Vogt (1889).
• 3 Voir Schwarz (1869b, a). A propos des polygones fuchsiens, voir la correspondance entre Poincaré et Felix Klein à partir du 12 juin 1881 (§ 4-47-1); Poincaré à Mittag-Leffler, le 27 juillet 1882 (§ 1-1-18); l’introduction au Volume 1 de la Correspondance de Poincaré (Nabonnand 1999), et l’introduction aux Trois suppléments de Poincaré (Gray & Walter 1997b).
• 4 Variante: “…polygones fuchsiens obtenus par la méthode de M. Schwarz fondé que M. Schwarz a obtenus …”.