4-44-21. Felix Klein an H. Poincaré

Leipzig, 7. Mai 1882

Sophienstraße 10

Sehr geehrter Herr !

Vor kurzem las ich Ihre Note in den Comptes rendus vom 10. April 1882. Dieselbe hat mich um so mehr interessiert, als ich glaube, daß Ihre jetzigen Betrachtungen mit den meinigem auch der Methode nach eng verwandt sind. Ich beweise meine Sätze durch Kontinuität, indem ich die beiden Lemmata vorausstelle: 1. daß zu jeder „groupe discontinu“ eine Riemann’sche Fläche zugehört, und 2. daß zu der einzelnen zweckmäßig zerschnittenen Riemann’schen Flächen immer* nur eine solche Gruppe gehören kann (sofern ihr überhaupt eine Gruppe zugehört).

Die Reihenentwickelungen, wie Sie dieselben aufstellen, habe ich bislang noch ganz außer Betracht gelassen. Wie beweisen sie eigentlich die Existenz der Zahl $m$, für welche $\sum\frac{1}{(\gamma_{i}\eta+\delta_{i})^{m}}$ absolut konvergiert ? Und haben Sie für dieselbe eine genaue oder eine approximative unterer Grenze?

Ich selbst habe mittlerweile den betr. Sätzen wieder allgemeinere Gestalt gegeben, und da die Fertigstellung einer Annalennote im Augenblicke, wo ich sehr wenig Zeit habe, sich noch etwas hinausziehen muß, so schreibe ich Ihnen wieder davon. Im Falle meines ersten Satzes wurde die Gesamtkugel $\eta$ mit Ausnahmen unendlich vieler Punkte von den wiederholten Reproduktionen des Fundamentalbereiches überdeckt. Im Falle des zweiten Satzes bleibt das Innere einer Kreisfläche, aber nur einer einzigen, unbedeckt. Ich habe jetzt die Existenz von Darstellungen konstatiert (die für die einzelne Riemannsche Fläche wieder immer und immer auch nur in einer Weise vorhanden sind), bei welcher unendlich viele Kreisflächen ausgeschlossen werden. In dieser Richtung formuliere ich hier nur den allereinfachsten Satz (bei welchem durchaus unverzweigte Darstellung der Riemann’schen Fläche vorausgesetzt wird.

Sei $p=\mu_{1}+\mu_{2}+\ldots+\mu_{m}$, wo vorab keines der $\mu=1$ sein mag. So nehme man auf der Riemannschen Fläche $m$ Punkte $O_{1}$, …, $O_{m}$, und liege von $O_{1}$ in der bekannten Weise $2\mu_{1}$ Querschnitte $A_{1}$, $B_{1}$; $A_{2}$, $B_{2}$; …; $A_{\mu 1}$, $B_{\mu 1}$; von $O_{2}$ $2\mu_{2}$ Querschnitte usw. Andererseits konstruire man auf der $\eta$-Kugel $m$ auseinanderliegende Kreise und innerhalb des von letzteren gemeinseim begrenzten Raumes ein Kreisbogenpolygon, das von $4\mu_{1}$ Kreisen begrenzt ist, welche auf dem ersten Fundamentalkreise senkrecht stehen, dann ferner von $4\mu_{2}$ Kreisen, die auf dem zweiten Fundamentalkreise senkrecht stehen, usw. (also ein Kreisbogenpolygon, das $m$-fachen Zusammenhang hat). Die begrenzenden Kreise werden paarweise in der bekannten Reihenfolge $A_{1}$, $B_{1}$, $A_{1}^{-1}$, $B_{1}^{-1}$, $A_{2}$, $B_{2}$ …zusammengeordnet, und zwar durch lineare Substitutionen des $\eta$, bei denen jeweils der betreffende Fundamentalkreis invariant bleibt. Überdies sei das Produkt der betreffenden linearen Substitutionen also etwa: $A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\ldots A_{\mu 1}^{-1}B_{\mu 1}^{-1}$ allemal der Identität gleich. Dann gibt es immer eine und zwar eine analytische Funktion, welche die zerschnittene Riemannsche Fläche auf ein derart beschaffenes Kreisbogenpolygon abbildet. Der Fall, daß eines der $\mu$ gleich 1 wird, unterscheidet sich nur dadurch, daß dann der zugehörige Fundamentalkreis sich auf einen Punkt zusammenzieht und die entsprechenden linearen Substitutionen in diejenigen „parabolischen“ übergehen, welche jenen Punkt fetlassen. Doch genug für heute. Wäre es nicht möglich, eine vollständige Kollektion von Separatabzügen Ihrer einschlägigen Arbeiten zu bekommen ? Wenn es angeht, beginne ich nach Pfingsten in meinem Seminare eine Reihe von Vorträgen über eindeutige Funktionen mit linearen Transformationen in sich, und möchte dabei meinen Zuhörern eine solche Kollektion zur Verfügung stellen.

Hochachtungsvoll, Ihr

F. Klein

* d.h. unter den Beschränkungen des jeweiligen Satzes.

PTrL. Nörlund (1923, 124–125); Fricke et al. (1923, 612–613); Julia and Petiau (1956, 56–57). See also the translations to English (§ 7-2-66) and French (§ 7-2-40), as well as Poincaré’s reply (§ 4-44-22).

Time-stamp: "8.08.2022 17:49"

Notes

• ¹ Poincaré (1882); Nörlund and Lebon (1916, 41–43).