4-44-22. H. Poincaré à Felix Klein

Paris 12 Mai 1882

Monsieur,

J’ai bien tardé à vous répondre et je vous prie de m’en excuser, car j’ai été forcé de faire une petite absence. Je crois comme vous que nos méthodes se rapprochent beaucoup et diffèrent moins par le principe général que par les détails. Pour les lemmes dont vous me parlez, le premier, je l’ai établi par les considérations des développements en série et vous, à ce que je pense, à l’aide du théorème dont vous m’avez parlé dans une de vos lettres de l’année dernière. Pour le second lemme, il ne présente pas de difficulté et il est probable que nous l’établissons de la même manière. Une fois ces deux lemmes établis, et c’est en effet par là que je commence, ainsi que vous le faites vous même, j’emploie comme vous la continuité, mais il y a bien de manières de l’employer et il est possible que nous différions dans quelques détails.

Vous me demandez comment j’établis la convergence de la série $\frac{1}{(\gamma_{i}\eta+\delta_{i})^{2m}}$. J’en ai deux démonstrations mais qui sont toutes deux trop longues pour tenir dans une lettre ; je les publierai prochainement. La première est fondée en principe sur ce fait que la surface du cercle fondamental est finie. La seconde exige la même hypothèse, mais elle est fondée sur la géométrie non-euclidienne. Quelle est maintenant la limite inférieure du nombre $m$ ? C’est $m=2$. Ici si l’on suppose $m$ entier on a une limite exacte. En ce qui concerne les séries relatives aux fonctions Zétafuchsiennes, je n’ai au contraire qu’une limite approximative. Ce qui m’a le plus intéressé dans votre lettre, c’est ce que vous me dites au sujet des fonctions qui admettent comme espaces lacunaires une infinité de cercles. J’ai rencontré aussi de semblables fonctions et j’en ai donné un exemple dans une ou deux de mes notes. Mais j’y suis arrivé par une voie absolument différente de la vôtre.

Il est probable que vos fonctions et les miennes doivent avoir une étroite parenté ; cependant il n’est nullement évident qu’elles soient identiques. Je croirais volontiers que votre méthode ainsi que la mienne est susceptible d’une généralisation très étendue et qu’elles conduiraient toutes deux à une grande classe de transcendantes comprenant comme cas particuliers celles que nous avons déjà rencontrées.

Vous me parlez de tirages à part de mes travaux. Voulez vous parler de mes notes des Comptes Rendus. Je n’en ai pas fait faire de tirages à part et il serait malheureusement difficile maintenant d’en obtenir, au moins pour les premières d’entre elles.

Je vous enverrai prochainement et dès que je les aurai reçus les tirages à part de deux travaux plus récents ; le premier «  sur les courbes définies par les équations différentielles  ». Il s’agit d’étudier la forme géométrique des courbes définies par les équations différentielles de 1^er ordre. Malheureusement, la 1^re partie de ce mémoire est seule imprimée jusqu’ici et ne contient que les préliminaires. Le second travail a pour objet les formes cubiques ternaires, dont je veux faire l’étude arithmétique. J’ai voulu rappeler d’abord certains résultats algébriques qui remplissent la 1^re partie du mémoire. Cette 1^re partie a seule été imprimée dans le 50^e cahier du Journal de l’École Polytechnique, le reste devant paraître dans le 51^e cahier. Cette 1^re partie ne vous intéressera donc pas beaucoup. Il y a cependant une étude sur les transformations linéaires et sur certains groupes continus contenus dans le groupe linéaire à 3 et 4 variables.

A propos, je ne me souviens plus si je vous ai envoyé ma thèse, ainsi que des travaux plus anciens sur les équations différentielles et un travail sur les fonctions à espaces lacunaires.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération la plus distinguée,

Poincaré

ALS 4p. Nachlass Klein 11, 362, Handscriftenabteilung, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen. Edited by Nörlund (1923, 125–127), Fricke et al. (1923, 613–615), Julia and Petiau (1956, 57–59), Dugac (1989, 114–116). Translated to English (§ 7-2-67).

Time-stamp: " 8.08.2022 17:49"

Notes

• 1 Klein had last written to Poincaré five days previously, on 7 May 1882; see Klein to Poincaré (§ 4-44-21).
• 2 Nörlund’s transcription introduces the $\Sigma$ missing in the manuscript.
• 3 Poincaré (1881a).
• 4 Poincaré (1881b).
• 5 Poincaré (1882).
• 6 Poincaré (1879), reed. Appell and Drach (1928, IL–CXXII); Poincaré (1878).