4-44-25. Felix Klein an H. Poincaré

Leipzig, den 19. Sept. 1882

Sophienstr. 10/II

Sehr geehrter Herr !

Im Begriffe, meinerseits eine längere Arbeit über die neuen Funktionen abzuschließen, habe ich soeben Ihren Aufsatz in Bd. 19 der Math. Annalen noch einmal durchgesehen. Es ist da ein Punkt, den ich nicht verstehe: Sie sprechen an zwei Stellen (S. 558 Mitte, und S. 560 unten) von „fonctions fuchsiennes“, die nur in einem Raume existieren, der von unendlich vielen Kreisen begrenzt ist, welche auf dem Hauptkreise senkrecht stehen. Nun kenne ich sehr wohl solche Funktionen (wie ich Ihnen schon vor einem Vierteljahr schrieb), die unendlich viele Kreise als natürliche Grenze haben. Aber an der zugehörigen Gruppe partizipieren immer solche Substitutionen, welche nur den einzelnen, beliebig herausgegriffenen Begrenzungskreis invariant lassen. Nun definieren Sie „fuchsiennes“ als solche Funktionen, deren Substitutionen sämtlich reell sind (S. 554), und diese Definition wird durch die Verallgemeinerung auf S. 557, wo an Stelle der reellen Achse ein beliebiger Kreis tritt, nicht wesentlich modifiziert. Die von mir gekannten Funktionen fallen also nicht unter Ihre Definition der „fuchsiennes“. Ist da ein Mißverstänsnis auf meiner Seite oder eine Ungenauigkeit des Ausdrucks auf der Ihrigen? Was meine arbeit angeht, so beschränke ich mich darauf, die geometrische Auffassung darzulegen, vermöge deren ich im Riemannschen Sinne die neuen Funktionen definiert denke. Dabei sind, wie es in der Natur der Sache liegt, viele Berührungspunkte auch mit Ihrer geometrischen Auffassung des Gegenstandes. Die allgemeinste Gruppe, welche ich in Betracht ziehle, erzeuge ich aus einer beliebiger Zahl „isolierter“ Substitutionen und aus einer anzahl von Gruppen „mit Hauptkreise“ (der reell oder imaginär sein kann oder auch in einem Punkt ausgeartet) durch „Ineinanderschiebung“. Die Theoreme meiner beide Annalennoten subsumieren sich dann als spezielle Fälle unter allgemeinen Satz, der etwa so lautet : daß zu jeder Riemannschen Fläche mit beliebig vorgegebener Verzweigung und Zerschneidung immer eine und nur eine $\eta$-Funktion des betreffenden Typus zugehört.

Von Mittag-Leffler hörte ich, daß Sie eben auch mit größeren Ausarbeitungen beschäftigt sind. Ich brauche nicht zu sagen, wie sehr es mich interessieren wird, darüber Genaueres zu erfahren. Wenn Sie in einem Monate in Paris sind, werden Sie meinen Freund S. Lie kennen lernen, der eben ein paar Tage bei mir zu Besuch war und der, obwohl selbst bislang nicht Funktionentheoretiker, doch lebhaft sich für die Fortschritte interessiert, die die Funktionentheorie in neuerer Zeit gemacht hat.

Hochachtungsvoll, Ihr

F. Klein

PTrL. Nörlund (1923, 129–130); Fricke et al. (1923, 618–619); Julia and Petiau (1956, 62–63). See also the translations in English (§ 7-2-70) and French (§ 7-2-42), and Poincaré’s reply (§ 4-44-26).

Time-stamp: "8.08.2022 17:49"

Notes

• ¹ Poincaré (1882b).
• ² See Poincaré (1882c), (1882a), (1883), (1884), and the reedition by Nörlund and Lebon (1916, 108–462).