4-44-26. H. Poincaré à Felix Klein

Nancy, le 22 Septembre 1882

Monsieur,

Voici quelques détails sur ces fonctions dont j’ai parlé dans ma note des Annales et dont la limite naturelle est formée d’une infinité de cercles. Pour plus de simplicité dans l’exposition, je prendrai pour exemple un cas très particulier. Supposons quatre points $a$, $b$, $c$, $d$ sur le cercle fondamental et quatre cercles coupant orthogonalement celui-ci : le 1^er en $a$ et en $b$ ; le 2^d en $b$ et en $c$ ; le 3^e en $c$ et en $d$ ; le 4^e en $d$ et en $a$. On obtient ainsi un quadrilatère curviligne. Considérons deux substitutions (hyperboliques ou paraboliques), la 1^ère changeant le cercle $a\,b$, dans le cercle $a\,d$ ; la 2^de changeant le cercle $c\,b$ dans le cercle $c\,d$. Les Wiederholungen de notre quadrilatère vont recouvrir la surface du cercle fondamental, ou une portion seulement de cette surface ; mais dans tous les cas le groupe sera évidemment discontinu. On reconnaît aisément que le cercle fondamental ne sera recouvert tout entier que dans un seul cas ; lorsque les quatre points $a\,b\,c\,d$ seront harmoniques et que les deux substitutions ($ab$, $ad$) et ($cb$, $cd$) seront paraboliques. On a affaire alors à la fonction modulaire. Dans tous les autres cas, on trouve que les Wiederholungen en question ne recouvrent qu’un domaine limité par une infinité de cercles. Maintenant le plan tout entier peut-être abgebildet sur notre quadrilatère et de telle façon que deux points correspondants du périmètre correspondent au même point du plan. Cette Abbildung définit une fonction n’existant que dans le domaine recouvert par les Weiderholdungen. Mais ici il faut faire une remarque importante. Le groupe dérivé des deux substitutions ($ab$, $ad$) et ($cb$, $cd$) peut être considéré comme engendré d’une autre manière. Considérons quatre cercles $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, $C_{4}$ coupant tous quatre orthogonalement le cercle fondamental et ne se coupant pas entre eux de façon à être extérieurs les uns aux autres. Soit deux substitutions changeant $C_{1}$ en $C_{2}$ et $C_{3}$ en $C_{4}$ ; le groupe qui en dérive est évidemment discontinu et si les 4 cercles sont convenablement choisis, il peut être identique au groupe dont il a été question plus haut. La portion du plan extérieure aux 4 cercles est une sorte de quadrilatère qui peut être abgebildet sur une surface de Riemann de genre 2 et qui engendre ainsi une fonction existant dans tout le plan. Voilà donc le même groupe donnant naissance à deux fonctions essentiellement différentes. Il peut se poser à ce sujet une foule de questions délicates que je ne puis aborder ici.

En résumé, vous voyez qu’il s’agit bien de fonctions n’existant que dans un domaine limité par une infinité de cercles et cependant de «  fonctions fuchsiennes  » puisque toutes les substitutions du groupe conservent le cercle fondamental. Chacun des cercles de la frontière est conservé par une des substitutions du groupe, laquelle conserve en même temps le cercle fondamental. Vous savez en effet que toute substitution hyperbolique conserve tous les cercles qui passent par les deux points doubles.

J’apprends avec plaisir que vous préparez un grand travail sur l’objet qui nous intéresse tous deux. Je le lirai avec le plus grand plaisir. Comme vous l’a dit M. Mittag-Leffler je prépare moi-même un travail sur ce sujet ; mais vu sa longueur, je l’ai partagé en cinq mémoires:

• Le 1^er qui va paraître cette année, sur les groupes à substitutions réelles (que j’ai appelé groupes fuchsiens)

• le 2^d sur les fonctions fuchsiennes ; j’en achèverai prochainement la rédaction

• le 3^e sur les groupes et les fonctions plus générales que j’ai appelé Kleinéennes.

• Dans le 4^e j’aborderai un ordre de questions que j’ai laissées de côté dans le deuxième mémoire ; c’est à dire la démonstration de l’existence de fonctions satisfaisant à certaines conditions, par exemple la démonstration de ce fait qu’à toute surface de Riemann correspond une semblable fonction et la détermination des constantes correspondantes.

• Enfin dans le 5^e je parlerais des fonctions zétafuchsiennes et de l’intégration des équations linéaires.

Je dois retourner à Paris après demain ; je serai donc là au moment du passage de M. Lie. Je serais désolé de perdre l’occasion de voir ce célèbre géomètre.

Vous avez dû recevoir la première partie de mon travail sur les courbes définies par les équations différentielles; je vous en enverrai prochainement la seconde partie ; je vous enverrais en même temps mon mémoire sur les formes cubiques.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération la plus distinguée,

Poincaré

ALS 6p. Nachlass Klein 11, 364, Handscriftenabteilung, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen. Edited by Nörlund (1923, 131–132), Fricke et al. (1923, 619–621), Julia and Petiau (1956, 63–65), Dugac (1989, 120–121). See also the English translation (§ 7-2-71).

Time-stamp: " 8.08.2022 17:49"

Notes

• 1 See Poincaré (1882c), and Klein’s letter to Poincaré of 19 September, where Klein claims to know “sehr wohl” such functions (§ 4-44-25).
• 2 Variant: “Il existe Considérons deux substitutions…”.
• 3 Autrement dit, les itérations de notre quadrilatère.
• 4 Le plan tout entier peut-être représenté sur notre quadrilatère.
• 5 Cette représentation définit une fonction n’existant que dans le domaine recouvert par les itérations.
• 6 Poincaré (1882e).
• 7 Poincaré (1882b).
• 8 Poincaré (1883).
• 9 Poincaré (1884b).
• 10 Poincaré (1884a).
• 11 Poincaré (1881a), (1882a), (1881b), (1882d).