2-37-2. Tullio Levi-Civita à H. Poincaré

Padoue le 11 décembre 1901

(Université-Padoue)

Illustre Monsieur,

Je viens de lire votre brillant article dans la Revue générale des Sciences.

Permettez moi une petite remarque à propos de la dernière expérience de M. Crémieu.

Il s’agit là substantiellement d’une charge $m$, qui va de $B$ en $B^{\prime}$ par convection et revient de $B^{\prime}$ en $B$ par conduction.

La trajectoire de la charge pourra être assimilée au segment rectiligne $BB^{\prime}$, de longueur $\ell$.

Soit $P$ un point quelconque à la distance $\overline{PQ}=d$ de $BB^{\prime}$.

D’après la théorie ordinaire*, la force magnétique, due à la convection, atteint sa valeur maximum $F$ lorsque la charge mobile passe en $Q$, et est alors

$$F=\frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}\frac{m}{d^{2}}\text{**}$$

où l’on suppose $m$ exprimé en unités électrostatiques et $\alpha=\frac{v}{V}$ est le rapport entre la vitesse de convection $v$ et celle de la lumière $V$.

Nous en concluons :
a) L’effet magnétique de l’allée (courant de convection) au point $P$ ne peut dépasser celui d’une force

$$F=\frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}\frac{m}{d^{2}}$$

agissante pendant un temps $\tau=\frac{\ell}{v}$.

Cherchons maintenant à évaluer la force magnétique $F_{1}$, due au courant de retour.

Si $P$ est assez éloigné des extrémités $B,B^{\prime}$, on pourra traiter le courant en question (dans le très petit intervalle de temps $\tau_{1}$, pendant lequel il se produit) comme un courant constant ayant son siège sur la droite indéfinie $BB^{\prime}$ : L’intensité serait, en unités électrostatiques, $\frac{m}{\tau_{1}}$ ; elle est donc, en unités électromagnétiques, $\frac{m}{V\tau_{1}}$, ce qui donne pour la force magnétique $F_{1}$ au point $P$ :

$$F_{1}=\frac{2m}{V\tau_{1}}\frac{1}{d}$$

On peut bien admettre que la vitesse de la décharge soit de l’ordre de $V$ et par suite que le rapport de $\frac{\ell}{\tau_{1}}$ à $V$ soit un nombre $k$ assez peu différent de 1. Il vient donc pour expression de la force :

$$F_{1}=\frac{2k}{\ell}\frac{m}{d}=2k\frac{d}{\ell}\frac{m}{d^{2}}\text{;}$$

pour sa durée $\tau_{1}=\frac{\ell}{kV}$.

En somme :
b) L’effet magnétique du retour (courant de conduction) au point $P$ est à fort peu près celui d’une force

$$F_{1}=2k\frac{d}{\ell}\frac{m}{d^{2}},$$

agissante pendant un temps $\tau_{1}=\frac{\ell}{kV}$. La force $F_{1}$ est bien plus grande que $F$ : En supposant par exemple que $d$ soit un centième de $\ell$, $v=3$Km par seconde, $2k=1$, ce qui est peut-être déjà assez exagéré, nous aurons

$$\begin{array}[]{cc}\alpha=\frac{3}{3.10^{5}}=10^{-5},&\frac{F_{1}}{F}=1000,\end{array}$$

à fort peu près.

Il va sans dire que $F_{1}$ agit pendant un temps presque d’autant plus court, mais les expérimentateurs savent bien que le produit force $\times$ durée étant constant, on obtient des effets appréciables, seulement lorsque le premier facteur est assez grand : C’est évident qu’il en doit être ainsi, au point de vue mécanique, car le frottement au repos maintient l’équilibre, jusqu’à ce que la force n’atteint pas une certaine limite.

Dans notre cas $F$ et $F_{1}$ sont dans le rapport de 1 à 1000. Rien d’étonnant donc que $F_{1}$ soit supérieure à la dite limite, pendant que $F$ en reste au dessous.

Si je ne me trompe pas, on a ici une justification théorique des résultats observés par M. Crémieu.

Je comprends bien que c’est très indiscret de mon côté de vous avoir entretenu avec une remarque si peu originale. Votre temps est si précieux pour la Science ! Fort heureusement que le Princeps Mathematicorum est à nos jours un souverain constitutionnel et qu’il ne nie pas une audience bienveillante au plus humble de ses sujets.

Veuillez agréer les sentiments de mon profond respect.

Votre bien dévoué,

T. Levi-Civita

* Comme vous le remarquez, il n’est pas nécessaire d’expliciter laquelle. Les théories de Hertz et de Lorentz s’accordent sur ce point ; et il en est de même pour celle de Helmholtz, aux termes du second ordre en $\frac{1}{V}$ près. (Nuovo Cimento, Août 1897)
** Voir par exemple Righi, «   Sui campi elettromagnetici, ecc.   », Memorie dell’Academia di Bologna, 24 Février 1901 ; ou Nuovo Cimento, Août 1901.

ALS 5p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 2.11.2023 19:58"

Notes

• 1 Poincaré 1901. Levi-Civita publiera une étude du champ électrique engendré par la translation d’une charge électrique (Levi-Civita 1902b), dont certains résultats sont communiqués dans cette lettre. Il étudiera, en outre (Levi-Civita 1902a), l’effet de l’écran utilisé par Victor Crémieu, effet remarqué également par Alfred Potier (§ 2-48-6) et Augusto Righi (1902).
• 2 Levi-Civita 1897.
• 3 Righi 1901a, 1901b.