Unpublished manuscript on group theory

1. Giebt eine infinitesimale Transformation zwischen $x$ und $y$, diesen Grössen die Increments

   $$\partial x=\xi(x\,y)\,\partial t,\qquad\partial y=\eta(x\,y)\,\partial t,$$

   so bezeichne ich dieselbe mit dem Symbole

   $$\xi\frac{\partial f}{\partial x}+\eta\frac{\partial f}{\partial y}\qquad\text{oder}\qquad\xi p+\eta q.$$

2. Enthält eine Gruppe die beiden inf. Transformationen

   $$B_{1}f=\xi_{1}p+\eta_{1}q,\qquad B_{2}f=\xi_{2}p+\eta_{2}q,$$

   so enthält die zugleich die inf. Trf.:

   $$(c_{1}\xi_{1}+c_{2}\xi_{2})p+(c_{1}\eta_{1}+c_{2}\eta_{2})q=c_{1}B_{1}f+c_{2}B_{2}f,$$

   wo $c_{1},c_{2}$ arbiträre Constante sind.

3. Unter derselben Voraussetzung enthält sie ebenfalls die inf. Transformationen

   $$B_{1}\bigl{(}B_{2}(f)\bigr{)}-B_{2}\bigl{(}B_{1}(f)\bigr{)} =\left(\xi_{1}\frac{\partial\xi_{2}}{\partial x}+\eta_{1}\frac{\partial\xi_{2}}{\partial y}-\xi_{2}\frac{\partial\xi_{1}}{\partial x}-\eta_{2}\frac{\partial\xi_{1}}{\partial y}\right)p$$

   $$+\left(\xi_{1}\frac{\partial\eta_{2}}{\partial x}+\eta_{1}\frac{\partial\eta_{2}}{\partial y}-\xi_{2}\frac{\partial\eta_{1}}{\partial x}-\eta_{2}\frac{\partial\eta_{1}}{\partial y}\right)q=(B_{1}B_{2}).$$

   Um diesen Satz auch für Gruppen mit unendlich vielen Parametern zu beweisen, schreibt man die Gleichungen der betreffenden inf. Transformationen $B_{1}f,B_{2}f$ mit Berücksichtigung von Grössen zweiter Ordnung folgendermassen

   $$\left\{\begin{aligned} \partial x&=\xi_{1}\partial t+\left(\frac{\partial\xi_{1}}{\partial x}\xi_{1}+\frac{\partial\xi_{1}}{\partial y}\eta_{1}\right)\frac{\partial t^{2}}{1\cdot 2}+\cdots,\\ \partial y&=\eta_{1}\partial t+\left(\frac{\partial\eta_{1}}{\partial x}\xi_{1}+\frac{\partial\eta_{1}}{\partial y}\eta_{1}\right)\frac{\partial t^{2}}{1\cdot 2}+\cdots\end{aligned}\right.$$

   $$\left\{\begin{aligned} \partial x&=\xi_{2}\partial\tau+(\ )\frac{\partial\tau^{2}}{1\cdot 2}+\cdots,\\ \partial y&=\eta_{2}\partial\tau+(\ )\frac{\partial\tau^{2}}{1\cdot 2}+\cdots\end{aligned}\right.$$

   führt dann zuerst die eine und sodann die zweite inf. Transformation aus und verlangt, dass die entstandene Transformation die Form

   $$\left\{\begin{aligned} \partial x&=(c_{1}\xi_{1}+c_{2}\xi_{2})\partial\sigma+(\ )\frac{\partial\sigma^{2}}{1\cdot 2}+\cdots,\\ \partial x&=(c_{1}\eta_{1}+c_{2}\eta_{2})\partial\sigma+(\ )\frac{\partial\sigma^{2}}{1\cdot 2}+\cdots\end{aligned}\right.$$

   besitzen soll.

4. Jede continuirliche Gruppe enthält infinitesimale Transformationen. Bei dem Beweise dieses Satzes scheint es mir nothwendig a priori gewisse Voraussetzungen zu machen. Es genügt z. B. festzustellen, dass die endliche Transformationen des Gruppes sich paarweise als invers zusammen ordnen lassen. Oder man könnte nur verlangen, dass die Gruppe eine identische Transformation enthält.

5. Die endliche Transformationen der Gruppe lassen sich durch Wiederholung von ihren infinitesimalen erzeigen. Diesen Satz habe ich bewiesen für gruppen mit einer begrenzten Anzahl Parameters. Für Gruppen mit unendlich vielen Parameter stelle ich ihn a priori und zwar definitionsmässig fest.

6. Die infinitesimalen Transformationen einer Gruppe sind definirt durch eine oder mehrere partielle Differentialgleichungen

   $$\Omega_{i}\!\left(\xi\ \eta\ \frac{\partial\xi}{\partial x}\ \frac{\partial\xi}{\partial y}\ \cdots\frac{\partial^{2}\xi}{\partial x\partial y}\ \frac{\partial\eta}{\partial x}\ \frac{\partial\eta}{\partial y}\ \cdots\right)=0.$$

   Dieselben sind wegen II linear und homogene.

7. Wenn gewisse Werthsysteme $\xi\eta$ gewisse lineare und homogene Gleichungen $\Omega_{i}=0$ erfüllen, und dasselbe der Fall ist mit allen Werthsystemen

   $$\xi_{1}\frac{\partial\xi_{2}}{\partial x}+\eta_{1}\frac{\partial\xi_{2}}{\partial y}-\xi_{2}\frac{\partial\xi_{1}}{\partial x}-\eta_{2}\frac{\partial\xi_{1}}{\partial y},\quad\xi_{1}\frac{\partial\eta_{2}}{\partial x}+\cdots-\eta_{2}\frac{\partial\eta_{1}}{\partial y},$$

   so erzeugen die inf. Transformationen eine Gruppe.

Diese Definitionen und Sätze genügen zur Bestimmung von allen unendlichen und continuirlichen Gruppen zwischen $x$ und $y$. Insbesondern erlaubt der Satz III die Anzahl und Form der Relationen $\Omega_{i}=0$ anzugeben.

Lass mich hier nur den einfachsten Fall discuttiren. Lass mich annehmen, eine Gruppe sei bestimmt durch eine einzige Gleichung $\Omega=0$, die überdies von ersten Ordnung ist. Da $\Omega$ linear und homogen sein soll, so wird

$$(\Omega)\qquad\Omega=A\frac{\partial\xi}{\partial x}+B\frac{\partial\xi}{\partial y}+C\frac{\partial\eta}{\partial x}+D\frac{\partial\eta}{\partial y}+E\xi+F\eta=0$$

wo $A\cdots F$, Funktionen von $x$ und $y$ sind.

Ich nehme ferner an, dass die Gruppe keine Differentialgleichung erste Ordnung $\phi\!\left(x,y,\frac{y}{x}\right)=0$ invariant lasst. Dann lässt sich zunächst nachweisen dass

$$B=C=0,\qquad A=D$$

ist.

Man betrachte in der That eine beliebige inf. Transformation $\xi p+\eta q$ der Gruppe in der Umbegung eines beliebigen Punktes $x_{0},y_{0}$ und entwickeln $\xi$ und $\eta$ in Potenzreihe

$$\xi p+\eta q =\{a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+b_{1}(y-y_{0})+\cdots\}p$$

$$+\{c_{0}+d_{1}(x-x_{0})+f_{1}(y-y_{0})+\cdots\}q.$$

Berücksichtigt man nun II, so erkennt man dass zu jedem Punkte $x_{0}y_{0}$ unbegrenzt viele inf. Transformationen gehören, für welche $a_{0}=c_{0}=0$ ist. Solche inf. Transformationen sind, sage ich, von erste Ordnung in der Umgebung des Punktes $x_{0}y_{0}$. Sei

$$\{\alpha_{1}(x-x_{0})+\beta_{1}(y-y_{0})+\cdots\}p+\{\delta_{1}(x-x_{0})+\epsilon_{1}(y-y_{0})+\cdots\}q$$

das allgemein Symbol eines inf. Transformationen unsere Gruppe, die in der Umgebung von $x_{0}y_{0}$ von erste Ordnung ist. Diese inf. Transformationen erste Ordnung genügen die Relation $(\Omega)$. Also besteht die Relation

$$A^{(0)}\alpha_{1}+B^{(0)}\beta_{1}+C^{(0)}\delta_{1}+D^{(0)}\epsilon_{1}=0,$$

wo $A^{(0)}\cdots D^{(0)}$ die Werthe der Grössen $A\cdots D$ bei der Substitution $x=x_{0}$, $y=y_{0}$ bezeichnen.

Nun aber lassen die inf. Transformationen (P) sich als lineare Transformationen auffassen, welche die durch den Punkt $x_{0}y_{0}$ gehenden Richtungen unter sich vertauschen. Dieser linear Gruppe darf keine solche Richtung invariant lassen indem sonst jedenfalls eine invariante Differentialgleichung $\phi\!\left(x,y,\frac{y}{x}\right)=0$ aufträte. Hieraus folgt leicht dass $\Omega_{0}$ die Form

$$\alpha_{1}+\epsilon_{1}=0$$

besitzt. Hieraus folgt, dass $\Omega=0$ die Form

$$(\Omega_{0})\qquad\frac{\partial\xi}{\partial x}+\frac{\partial\eta}{\partial y}+E\xi+F=0$$

besitzt, wie behauptet wurde.

Es lässt sich ferner nachweisen, dass $E$ und $F$ partielle Differentialquotienten $E=\dfrac{\partial U}{\partial x}$, $F=\dfrac{\partial U}{\partial y}$ eine gewissen Funktion $U$ sind.

Seien in der That $\xi p+\eta q$ und $Xp+Yq$ zwei inf. Transformationen unserer Gruppe; dann ist (III) auch

$$(X\xi_{x}+Y\xi_{y}-\xi X_{x}-\eta X_{y})p+(X\eta_{x}+Y\eta_{y}-\xi Y_{x}-\eta Y_{y})q$$

eine inf. Transformationen unserer Gruppe, und genügt somit $(\Omega_{1})$. Dies giebt eine Differentialgleichung zweite Ordnung zwischen $\xi\,\eta\,X\,Y$, die sich in lass, da sowohl $\xi\,\eta$ wie $X\,Y$ die Gleichung $\Omega_{1}$ erfüllen, an eine Differentialgleichung erste Ordnung zwischen $\xi\,\eta$, $X\,Y$ reducirt. Betrachtet man in dieser Gleichung erste Ordnung $Xp+Yq$ als eine bestimmter inf. Transformation der Gruppe, $\xi p+\eta q$ als eine beliebigen inf. Transf. der Gruppe, so können wir schliessen dass die neue Differentialgleichung 1. O. mit $\Omega_{1}$ identisch sein muss. Und hieraus folgt leicht dass

$$\frac{\partial E_{0}}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial x}$$

und das wirklich $\Omega_{1}$ die Form

$$(\Omega_{2})\qquad\frac{\partial\xi}{\partial x}+\frac{\partial\eta}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial x}\xi+\frac{\partial U}{\partial y}\eta=0$$

besitzt.

Jetzt führt man statt $x\ y$ neue Variabeln $x_{1}\ y_{1}$; dann wird

$$\xi_{1}=\frac{\partial x_{1}}{\partial x}\xi+\frac{\partial x_{1}}{\partial y}\eta,\qquad\eta_{1}=\frac{\partial y_{1}}{\partial x}\xi+\frac{\partial y_{1}}{\partial y}\eta.$$

Dabei ist es, wie eine kleine Rechnung zeigt, immer möglich die Variabeln $x_{1}y_{1}$ derart zu wählen, dass $(\Omega_{2})$ die Form

$$\frac{\partial\xi_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial\eta_{1}}{\partial y_{1}}=0$$

annimmt.

Hiermit haben wir somit den Satz.

Wird eine (unendliche) Gruppe bestimmt durch ein einzeln partielle Differentialgleichung erster Ordnung zwischen $\xi$ und $\eta$, so kann man die unabhängige Variabeln $x\ y$ derart wählen, dass die besprochen Definitionsgleichung die Form

$$\frac{\partial\xi}{\partial x}+\frac{\partial\eta}{\partial y}=0$$

erhält.

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Zu den obenstehenden Entwickelungen füge ich einige weitere Bemerkungen um das Wesen meiner Methoden klar zu stellen.

Seien vorgelegt zwei inf. Transformationen einer Gruppe, unter denen die eine von erster Ordnung ist und z. B. die Form

$$(x-x_{0})q+\cdots=B_{1}f$$

besitzt, die zweite von zweite Ordnung ist und etwa die Form

$$(y-y_{0})^{2}p+\cdots=B_{2}f$$

besitzt. Dann ist die inf. Transformation $B_{1}(B_{2}(f))-B_{2}(B_{1}(f))$ von zweite Ordnung und besitzt die Form

$$2(x-x_{0})(y-y_{0})p-(y-y_{0})^{2}q+\cdots$$

Denn entsprechend habe ich den allgemeinen Satz

Ist $B_{0}f$ von $m$${}^{\text{ter}}$ Ordnung in der Umgebung des Punktes $x_{0}y_{0}$, und $B_{1}f$ von $n$${}^{\text{ter}}$ Ordnung, so ist $B_{1}(B_{2}(f))-B_{2}(B_{1}(f))$ von $(m+n-1)$${}^{\text{ter}}$oder noch höherer Ordnung.

Kennt man in $B_{1}f$ die Glieder $m$${}^{\text{ter}}$ Ordnung und in $B_{2}f$ die Glieder $n$${}^{\text{ter}}$ Ordnung, so genügt das zu Bestimmung der Glieder $(m+n-1)$${}^{\text{ter}}$ Ordnung in $B_{1}(B_{2}(f))-B_{2}(B_{1}(f))$. Hieraus lässt sich z. B. den fundamentalen Schluss ziehen, dass unter den Definitionsgleichungen

$$\Omega_{i}\!\left(\xi\frac{\partial\xi}{\partial x}\cdots\frac{\partial^{2}\xi}{\partial x\partial y}\eta\cdots\right)=0$$

einer Gruppe sich jedenfalls ein von nullter, erster oder zweiter Ordnung findet. Denn gesetzt es gab kein Relation $\Omega_{i}$ von nullter, erster oder zweiter Ordnung, so gab es sicher zwei inf. Transformationen nullter Ordnung der Form

$$p+\cdots\qquad q+\cdots$$

es gab ferner vier inf. Transf. erster Ordnung

$$(x-x_{0})p+\cdots,\quad(y-y_{0})p+\cdots,\quad(x-x_{0})q+\cdots,\quad(y-y_{0})q+\cdots$$

es gab ferner sechs inf. Transformationen zweiter Ordnung die wir (indem wir zur Abkurzung $x_{0}=0\ y_{0}=0$ setzen) folgendermassen schreiben können:

$$x^{2}p+\cdots,\quad xyp+\cdots,\quad y^{2}p+\cdots,\quad x^{2}q+\cdots,\quad xyq+\cdots,\quad y^{2}q+\cdots$$

Jetzt combiniere ich diese sechs inf. Transformationen paarweise und wende III an. Dann liefern z. B. $x^{2}p+\cdots$ und $xyp+\cdots$ die inf. Transf. dritter Ordnung $x^{2}yp+\cdots$. In dieser Weise erhalte ich die sechs inf. Transf. 3. O.:

$$x^{2}yp+\cdots\quad xy^{2}p+\cdots\quad y^{3}p+\cdots\quad x^{3}q+\cdots\quad x^{2}yq+\cdots\quad xy^{2}q+\cdots$$

Ich combiniere ferner die beide $x^{2}yp+\cdots$ und $x^{2}q+\cdots$ und erhalte die Transformationen vierte Ordn.

$$-x^{4}p+2x^{3}yq$$

die mit der Transf. $p+\cdots$ combiniert eine neue inf. Transf. 3. O. liefert nämlich

$$-4x^{3}p+6x^{2}yq+\cdots$$

Eine analoge Ueberlegung giebt die inf. Transformation

$$-4x^{3}q+6x^{2}yp+\cdots$$

Hiermit sind acht unabhängige inf. Transformationen dritter Ordnung gefunden. Unter den Definitionsgleichungen $\Omega_{i}=0$ giebt es somit keine von dritte Ordnung.

Durch aehnliche Betrachtungen, findet man 10 unabhängige inf. Transformationen 4${}^{\text{ter}}$ Ordnung

$$x^{4}p+\cdots\quad x^{3}yp+\cdots\quad\cdots\quad y^{4}q$$

und erkennt so dass keine Gleichung $\Omega_{i}=0$ von vierter Ordnung ist u. s. w. Also:

Unter den Definitionsgleichungen

$$\Omega_{i}\!\left(\xi\frac{\partial\xi}{\partial x}\cdots\frac{\partial^{2}\xi}{\partial x\partial y}\eta\cdots\right)=0$$

giebt es jedenfalls eine [Gruppe], deren Ordnung gleich 0, 1 oder 2 ist.

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sodann ein Bischen über Gruppen, die eine Gleichung

$$f\!\left(x\ y\ \frac{\partial y}{\partial x}\right)=0$$

invariant lassen.

Ist $u(x\ y)=\mathrm{Const.}$ das Integrale der invarianten Differentialgleichung, so führe ich $\bar{x}$ als neues $x$ ein ; hierdurch erhalten die inf. Transformationen der Gruppe der Form

$$\xi(x)p+\eta(x\ y)q$$

wo $\xi$ nur von $x$ abhängt. In dem ich mich jetzt auf meine Theorie der Gruppen mit einer begrenzter Anzahl Parameter stütze, erkenne ich leicht dass es wesentlich nur fünf Möglichkeiten giebt.

1. Alle inf. Transformationen haben die Form

   $$\eta(x\ y)q$$

2. alle inf. Transf. haben die Form

   $$cp+\eta(x\ y)q\qquad c=\mathrm{Const.}$$

3. die inf. Transf. der Gruppe haben die Form

   $$(c_{1}x+c_{0})p+\eta(x\ y)q\qquad(c_{i}=\mathrm{Const.})$$

4. die inf. Transf. haben die Form

   $$(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})p+\eta(x\ y)q\qquad c_{i}=\mathrm{Const.}$$

5. die inf. Transf. haben die Form

   $$X(x)p+\eta(x\ y)q\qquad c_{i}=\mathrm{Const.}$$

   wo $X$ eine arbiträre Funktion von $x$ bezeichnet.

In jedem unter diesen fünf Fällen muss man die möglichen Formen von $\eta(xy)$ bestimmen. Als ein interessantes Beispiel führe ich diejenige Gruppe an deren inf. Transformationen die Form

$$X(x)p+X^{\prime}(x)yq$$

besitzen, wobei $X$ eine arbiträre Funktion von $x$ bezeichnet.

Time-stamp: "15.08.2026 13:17"