3-33-6. H. Poincaré to Anders Lindstedt

Paris 29 Mars 1884

Monsieur,

J’ai beaucoup réflechi depuis quelque temps à votre mémoire beitrag zur integration der Differentialgleichungen der Störungstheorie et j’aurais une explication à vous demander.11endnote: 1 Lindstedt 1883.

Prenons l’équation :

d2xdt2+n2x=ψ0+ψ1x+ψ2x2+\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\psi_{0}+\psi_{1}x+\psi_{2}x^{2}+\ldots

À la p[remièr]e approximation vous arrivez à une formule

xp=une série trigonométrique en t et w dont le premier terme est η0cosw.x_{p}=\;\text{une série trigonométrique en }t\text{ et }w\text{ dont le premier terme est }\eta_{0}\cos w.

Vous déterminez ensuite xp+1x_{p+1} par l’équation :

d2xp+1dt2+n2(1-ν)xp+1=-n2νxp+ψ0+ψ1xp+ψ2xp2+\frac{d^{2}x_{p+1}}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x_{p+1}=-n^{2}\nu x_{p}+\psi_{0}+\psi_% {1}x_{p}+\psi_{2}x_{p}^{2}+\ldots

le second membre est une série trigonométrique et vous disposez de ν\nu pour en faire disparaître les termes en cosw\cos w.22endnote: 2 L’objectif de Lindstedt est d’étudier l’équation d2xdt2+n2x=Ψ0+Ψ1x+Ψ2x2+\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\Psi_{0}+\Psi_{1}x+\Psi_{2}x^{2}+\ldots (1) qu’il présente comme le problème principal de la théorie des perturbations (Lindstedt 1882). Les fonctions Ψ\Psi sont essentiellement des séries trigonométriques. La méthode d’approximation successive habituelle consiste à considérer pour la première approximation la solution de l’équation sans second membre et à calculer avec celle-ci le second membre de l’équation (1). Il peut apparaître avec cette méthode des termes séculaires. L’idée de Lindstedt est d’écrire l’équation (1) sous la forme : d2xdt2+n2(1-ν)x=-n2νx+Ψ0+Ψ1x+Ψ2x2+=-n2νx+f(x)\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x=-n^{2}\nu x+\Psi_{0}+\Psi_{1}x+\Psi_{2}x^{% 2}+\ldots=-n^{2}\nu x+f(x) (2) et de commencer le processus d’approximations successives en considérant la solution x0=η0cosw,w=n(1-σ)t+ϖ,1-σ=1-νx_{0}=\eta_{0}\cos w,\qquad\mbox{où}\quad w=n(1-\sigma)t+\varpi,\quad 1-\sigma% =\sqrt{1-\nu} de l’équation : d2xdt2+n2(1-ν)x=0.\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x=0. En posant f(x0)=f(η0cosw)=a0+2a1cosw+2a2cos2w+,f(x_{0})=f(\eta_{0}\cos w)=a_{0}+2a_{1}\cos w+2a_{2}\cos 2w+\ldots, on obtient l’équation : d2x1dt2+n2(1-ν)x1=a0+(2a1-n2νη0)cosw+2a2cos2w+\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x_{1}=a_{0}+(2a_{1}-n^{2}\nu\eta_{0})% \cos w+2a_{2}\cos 2w+\ldots L’intégration de cette équation implique l’absence de termes séculaires, et Lindstedt propose de négliger le terme en cosw\cos w. Ainsi, il obtient (Lindstedt 1883, 8): ν1=2a1n2η0.\nu_{1}=\frac{2a_{1}}{n^{2}\eta_{0}}. Voici donc une première approximation x1x_{1} sous forme de série trigonométrique. La méthode de Lindstedt consiste alors à itérer le procédé. Callandreau, dans sa recension des travaux de Lindstedt, a souligné qu’il restait des questions en suspens (Callandreau 1884, 305–306) : “En général, ayant obtenu la valeur approchée de ν\nu jusqu’aux termes d’ordre k+1k+1, soit νk\nu_{k}, et pareillement la valeur xkx_{k} sous forme de série trigonométrique […], on substituera dans l’approximation suivante cette valeur de xkx_{k} dans le second membre de l’équation (2) en remplaçant νk\nu_{k} par nunu, et l’on déterminera ν\nu de manière qu’il n’y ait plus à droite de terme en cosw\cos w ; cette condition conduira à la nouvelle valeur νk+1\nu_{k+1}, et xk+1x_{k+1} sera donnée comme ci-dessus […].
Tel est l’algorithme fort simple que M. A. Lindstedt, de Dorpat, a imaginé pour obtenir l’intégrale de l’équation (1) sous forme de série purement trigonométrique, en réservant la question de la possibilité d’un tel développement.”

Mais cela ne suffit pas, il faut faire disparaître aussi les termes en sinw\sin w, ce que vous ne pouvez pas faire par le même procédé.

Il faudrait donc démontrer que ces termes disparaissent d’eux-mêmes. Je vois bien, par l’observation, qu’il en est effectivement ainsi mais je ne puis parvenir à le démontrer et cela ne me paraît pas du tout évident a priori.

Je vous serais fort obligé si vous vouliez bien me faire savoir comment vous le démontrez.33endnote: 3 Lindstedt ne démontre pas ce point; il pensait en fait qu’il fallait se placer dans des cas où les termes en sinw\sin w disparaissaient en même temps que ceux en cosw\cos w (Poincaré 1886, 59) : “En effet, pour que l’équation Δu=W\Delta u=W où le second membre est une série trigonométrique en tt et ww puisse être satisfaite par une série trigonométrique uu, il faut et il suffit que WW ne contienne ni terme en cosw\cos w, ni de terme en sinw\sin w. Or nous pouvons disposer de νk\nu_{k}, de façon à détruire les termes en cosw\cos w ; mais nous ne pourrions pas de même détruire les termes en sinw\sin w, s’il y en avait […].
On voit immédiatement qu’on ne peut en rencontrer dans les premières approximations ; mais il n’est pas évident qu’il en serait de même dans les approximations suivantes. Aussi M. Lindstedt croyait-il que sa méthode n’était applicable jusqu’au bout que s’il n’existait aucune relation linéaire à coefficients entiers entre les coefficients du temps dans les divers termes de ϕ1\phi_{1}, ϕ2\phi_{2}, … , ϕp\phi_{p}.”

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération la plus distinguée,

Poincaré

ALSX 2p. Observatoire de Paris.

Time-stamp: " 8.06.2019 19:00"

Notes

  • 1 Lindstedt 1883.
  • 2 L’objectif de Lindstedt est d’étudier l’équation d2xdt2+n2x=Ψ0+Ψ1x+Ψ2x2+\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\Psi_{0}+\Psi_{1}x+\Psi_{2}x^{2}+\ldots (1) qu’il présente comme le problème principal de la théorie des perturbations (Lindstedt 1882). Les fonctions Ψ\Psi sont essentiellement des séries trigonométriques. La méthode d’approximation successive habituelle consiste à considérer pour la première approximation la solution de l’équation sans second membre et à calculer avec celle-ci le second membre de l’équation (1). Il peut apparaître avec cette méthode des termes séculaires. L’idée de Lindstedt est d’écrire l’équation (1) sous la forme : d2xdt2+n2(1-ν)x=-n2νx+Ψ0+Ψ1x+Ψ2x2+=-n2νx+f(x)\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x=-n^{2}\nu x+\Psi_{0}+\Psi_{1}x+\Psi_{2}x^{% 2}+\ldots=-n^{2}\nu x+f(x) (2) et de commencer le processus d’approximations successives en considérant la solution x0=η0cosw,w=n(1-σ)t+ϖ,1-σ=1-νx_{0}=\eta_{0}\cos w,\qquad\mbox{où}\quad w=n(1-\sigma)t+\varpi,\quad 1-\sigma% =\sqrt{1-\nu} de l’équation : d2xdt2+n2(1-ν)x=0.\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x=0. En posant f(x0)=f(η0cosw)=a0+2a1cosw+2a2cos2w+,f(x_{0})=f(\eta_{0}\cos w)=a_{0}+2a_{1}\cos w+2a_{2}\cos 2w+\ldots, on obtient l’équation : d2x1dt2+n2(1-ν)x1=a0+(2a1-n2νη0)cosw+2a2cos2w+\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x_{1}=a_{0}+(2a_{1}-n^{2}\nu\eta_{0})% \cos w+2a_{2}\cos 2w+\ldots L’intégration de cette équation implique l’absence de termes séculaires, et Lindstedt propose de négliger le terme en cosw\cos w. Ainsi, il obtient (Lindstedt 1883, 8): ν1=2a1n2η0.\nu_{1}=\frac{2a_{1}}{n^{2}\eta_{0}}. Voici donc une première approximation x1x_{1} sous forme de série trigonométrique. La méthode de Lindstedt consiste alors à itérer le procédé. Callandreau, dans sa recension des travaux de Lindstedt, a souligné qu’il restait des questions en suspens (Callandreau 1884, 305–306) : “En général, ayant obtenu la valeur approchée de ν\nu jusqu’aux termes d’ordre k+1k+1, soit νk\nu_{k}, et pareillement la valeur xkx_{k} sous forme de série trigonométrique […], on substituera dans l’approximation suivante cette valeur de xkx_{k} dans le second membre de l’équation (2) en remplaçant νk\nu_{k} par nunu, et l’on déterminera ν\nu de manière qu’il n’y ait plus à droite de terme en cosw\cos w ; cette condition conduira à la nouvelle valeur νk+1\nu_{k+1}, et xk+1x_{k+1} sera donnée comme ci-dessus […]. Tel est l’algorithme fort simple que M. A. Lindstedt, de Dorpat, a imaginé pour obtenir l’intégrale de l’équation (1) sous forme de série purement trigonométrique, en réservant la question de la possibilité d’un tel développement.”
  • 3 Lindstedt ne démontre pas ce point; il pensait en fait qu’il fallait se placer dans des cas où les termes en sinw\sin w disparaissaient en même temps que ceux en cosw\cos w (Poincaré 1886, 59) : “En effet, pour que l’équation Δu=W\Delta u=W où le second membre est une série trigonométrique en tt et ww puisse être satisfaite par une série trigonométrique uu, il faut et il suffit que WW ne contienne ni terme en cosw\cos w, ni de terme en sinw\sin w. Or nous pouvons disposer de νk\nu_{k}, de façon à détruire les termes en cosw\cos w ; mais nous ne pourrions pas de même détruire les termes en sinw\sin w, s’il y en avait […]. On voit immédiatement qu’on ne peut en rencontrer dans les premières approximations ; mais il n’est pas évident qu’il en serait de même dans les approximations suivantes. Aussi M. Lindstedt croyait-il que sa méthode n’était applicable jusqu’au bout que s’il n’existait aucune relation linéaire à coefficients entiers entre les coefficients du temps dans les divers termes de ϕ1\phi_{1}, ϕ2\phi_{2}, … , ϕp\phi_{p}.”

Références

  • O. Callandreau (1884) Revue des publications astronomiques. Bulletin astronomique 1, pp. 302–307. Link Cited by: endnote 2.
  • A. Lindstedt (1882) Über die Integration einer für die Störungstheorie wichtigen Differentialgleichung. Astronomische Nachrichten 103, pp. 211–219. Link Cited by: endnote 2.
  • A. Lindstedt (1883) Beitrag zur Integration der Differentialgleichungen der Störungstheorie. Mémoires de l’Académie impériale des sciences de St-Pétersbourg 31 (4), pp. 1–20. Cited by: endnote 1, endnote 2.
  • H. Poincaré (1886) Sur une méthode de M. Lindstedt. Bulletin astronomique 3, pp. 57–61. Link Cited by: endnote 3.