3-33-6. H. Poincaré à Anders Lindstedt

Paris 29 Mars 1884

Monsieur,

J’ai beaucoup réflechi depuis quelque temps à votre mémoire beitrag zur integration der Differentialgleichungen der Störungstheorie et j’aurais une explication à vous demander.

Prenons l’équation :

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\psi_{0}+\psi_{1}x+\psi_{2}x^{2}+\ldots$$

À la p[remièr]e approximation vous arrivez à une formule

$$x_{p}=\;\text{une série trigonométrique en }t\text{ et }w\text{ dont le premier terme est }\eta_{0}\cos w.$$

Vous déterminez ensuite $x_{p+1}$ par l’équation :

$$\frac{d^{2}x_{p+1}}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x_{p+1}=-n^{2}\nu x_{p}+\psi_{0}+\psi_{1}x_{p}+\psi_{2}x_{p}^{2}+\ldots$$

le second membre est une série trigonométrique et vous disposez de $\nu$ pour en faire disparaître les termes en $\cos w$.

Mais cela ne suffit pas, il faut faire disparaître aussi les termes en $\sin w$, ce que vous ne pouvez pas faire par le même procédé.

Il faudrait donc démontrer que ces termes disparaissent d’eux-mêmes. Je vois bien, par l’observation, qu’il en est effectivement ainsi mais je ne puis parvenir à le démontrer et cela ne me paraît pas du tout évident a priori.

Je vous serais fort obligé si vous vouliez bien me faire savoir comment vous le démontrez.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération la plus distinguée,

Poincaré

ALSX 2p. Observatoire de Paris.

Time-stamp: " 8.06.2019 19:00"

Notes

• 1 Lindstedt 1883.
• 2 L’objectif de Lindstedt est d’étudier l’équation $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\Psi_{0}+\Psi_{1}x+\Psi_{2}x^{2}+\ldots$$ (1) qu’il présente comme le problème principal de la théorie des perturbations (Lindstedt 1882). Les fonctions $\Psi$ sont essentiellement des séries trigonométriques. La méthode d’approximation successive habituelle consiste à considérer pour la première approximation la solution de l’équation sans second membre et à calculer avec celle-ci le second membre de l’équation (1). Il peut apparaître avec cette méthode des termes séculaires. L’idée de Lindstedt est d’écrire l’équation (1) sous la forme : $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x=-n^{2}\nu x+\Psi_{0}+\Psi_{1}x+\Psi_{2}x^{2}+\ldots=-n^{2}\nu x+f(x)$$ (2) et de commencer le processus d’approximations successives en considérant la solution $$x_{0}=\eta_{0}\cos w,\qquad\mbox{où}\quad w=n(1-\sigma)t+\varpi,\quad 1-\sigma=\sqrt{1-\nu}$$ de l’équation : $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x=0.$$ En posant $$f(x_{0})=f(\eta_{0}\cos w)=a_{0}+2a_{1}\cos w+2a_{2}\cos 2w+\ldots,$$ on obtient l’équation : $$\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x_{1}=a_{0}+(2a_{1}-n^{2}\nu\eta_{0})\cos w+2a_{2}\cos 2w+\ldots$$ L’intégration de cette équation implique l’absence de termes séculaires, et Lindstedt propose de négliger le terme en $\cos w$. Ainsi, il obtient (Lindstedt 1883, 8): $$\nu_{1}=\frac{2a_{1}}{n^{2}\eta_{0}}.$$ Voici donc une première approximation $x_{1}$ sous forme de série trigonométrique. La méthode de Lindstedt consiste alors à itérer le procédé. Callandreau, dans sa recension des travaux de Lindstedt, a souligné qu’il restait des questions en suspens (Callandreau 1884, 305–306) : “En général, ayant obtenu la valeur approchée de $\nu$ jusqu’aux termes d’ordre $k+1$, soit $\nu_{k}$, et pareillement la valeur $x_{k}$ sous forme de série trigonométrique […], on substituera dans l’approximation suivante cette valeur de $x_{k}$ dans le second membre de l’équation (2) en remplaçant $\nu_{k}$ par $nu$, et l’on déterminera $\nu$ de manière qu’il n’y ait plus à droite de terme en $\cos w$ ; cette condition conduira à la nouvelle valeur $\nu_{k+1}$, et $x_{k+1}$ sera donnée comme ci-dessus […]. Tel est l’algorithme fort simple que M. A. Lindstedt, de Dorpat, a imaginé pour obtenir l’intégrale de l’équation (1) sous forme de série purement trigonométrique, en réservant la question de la possibilité d’un tel développement.”
• 3 Lindstedt ne démontre pas ce point; il pensait en fait qu’il fallait se placer dans des cas où les termes en $\sin w$ disparaissaient en même temps que ceux en $\cos w$ (Poincaré 1886, 59) : “En effet, pour que l’équation $$\Delta u=W$$ où le second membre est une série trigonométrique en $t$ et $w$ puisse être satisfaite par une série trigonométrique $u$, il faut et il suffit que $W$ ne contienne ni terme en $\cos w$, ni de terme en $\sin w$. Or nous pouvons disposer de $\nu_{k}$, de façon à détruire les termes en $\cos w$ ; mais nous ne pourrions pas de même détruire les termes en $\sin w$, s’il y en avait […]. On voit immédiatement qu’on ne peut en rencontrer dans les premières approximations ; mais il n’est pas évident qu’il en serait de même dans les approximations suivantes. Aussi M. Lindstedt croyait-il que sa méthode n’était applicable jusqu’au bout que s’il n’existait aucune relation linéaire à coefficients entiers entre les coefficients du temps dans les divers termes de $\phi_{1}$, $\phi_{2}$, …, $\phi_{p}$.”