2-41-1. H. Poincaré to Albert A. Michelson

[Ca. 27.04.1899]11endnote: 1 Lettre publiée dans Nature le 18 mai 1899. Michelson sollicitera de Poincaré son autorisation de publication; voir Michelson à Poincaré, 28.04.1899 (§ 2-41-2).

Mon cher Collègue,

Comme je l’avais prévenu vous avez tout à fait raison. Prenons d’abord l’intégrale

0ysinxzx𝑑x,\int_{0}^{y}{\frac{\sin xz}{x}dx},

dont la limite pour y=y=\infty est π/4\pi/4, 0, -π/4-\pi/4 selon que zz est positif, nul ou négatif.22endnote: 2 La transcription de Nature veut que ce soit x/4x/4, 0, -x/4-x/4, mais la limite pour z>0z>0, z=0z=0, et z<0z<0 est π/2\pi/2, 0, et -π/2-\pi/2, respectivement, comme l’observe E. Hewitt et R. Hewitt (1979, 153). Nous corrigeons uniquement la coquille de xx pour π\pi.

Faisons maintenant tendre simultanément zz vers 0 et yy vers l’infini de telle façon que zyzy tende vers aa. La limite sera

0asinxx𝑑x\int_{0}^{a}{\frac{\sin x}{x}dx}

qui peut prendre toutes les valeurs possibles depuis 0 jusqu’à

0πsinxx𝑑x.\int_{0}^{\pi}{\frac{\sin x}{x}dx}.

Si nous prenons maintenant nn termes dans la série33endnote: 3 Poincaré voulait écrire : k=1n(-1)k+1sinkzk.\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac{\sin kz}{k}.

sinkzz,\sum{\frac{\sin kz}{z}},

en faisant tendre simultanément zz vers 0 et nn vers l’infini de telle façon que le produit nznz tende vers aa, cela sera évidemment la même chose ; et la différence entre la somme et l’intégrale sera d’autant plus petite que zz sera plus petit. Cela se voit aisément.

Tout à vous,

Poincaré

PTrL. Poincaré 1899.

Time-stamp: " 3.05.2019 01:30"

Notes

  • 1 Lettre publiée dans Nature le 18 mai 1899. Michelson sollicitera de Poincaré son autorisation de publication; voir Michelson à Poincaré, 28.04.1899 (§ 2-41-2).
  • 2 La transcription de Nature veut que ce soit x/4x/4, 0, -x/4-x/4, mais la limite pour z>0z>0, z=0z=0, et z<0z<0 est π/2\pi/2, 0, et -π/2-\pi/2, respectivement, comme l’observe E. Hewitt et R. Hewitt (1979, 153). Nous corrigeons uniquement la coquille de xx pour π\pi.
  • 3 Poincaré voulait écrire : k=1n(-1)k+1sinkzk.\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac{\sin kz}{k}.

Références

  • E. Hewitt and R. E. Hewitt (1979) The Gibbs-Wilbraham phenomenon: an episode in Fourier analysis. Archive for History of Exact Sciences 21, pp. 129–160. Link Cited by: endnote 2.
  • H. Poincaré (1899) Fourier’s series (letter to A.A. Michelson). Nature 60, pp. 52. Link Cited by: 2-41-1. H. Poincaré to Albert A. Michelson.