2-41-1. H. Poincaré à Albert A. Michelson

[Ca. 27.04.1899]

Mon cher Collègue,

Comme je l’avais prévenu vous avez tout à fait raison. Prenons d’abord l’intégrale

$$\int_{0}^{y}{\frac{\sin xz}{x}dx},$$

dont la limite pour $y=\infty$ est $\pi/4$, 0, $-\pi/4$ selon que $z$ est positif, nul ou négatif.

Faisons maintenant tendre simultanément $z$ vers 0 et $y$ vers l’infini de telle façon que $zy$ tende vers $a$. La limite sera

$$\int_{0}^{a}{\frac{\sin x}{x}dx}$$

qui peut prendre toutes les valeurs possibles depuis 0 jusqu’à

$$\int_{0}^{\pi}{\frac{\sin x}{x}dx}.$$

Si nous prenons maintenant $n$ termes dans la série

$$\sum{\frac{\sin kz}{z}},$$

en faisant tendre simultanément $z$ vers 0 et $n$ vers l’infini de telle façon que le produit $nz$ tende vers $a$, cela sera évidemment la même chose ; et la différence entre la somme et l’intégrale sera d’autant plus petite que $z$ sera plus petit. Cela se voit aisément.

Tout à vous,

Poincaré

PTrL. Poincaré 1899.

Time-stamp: " 3.05.2019 01:30"

Notes

• 1 Lettre publiée dans Nature le 18 mai 1899. Michelson sollicitera de Poincaré son autorisation de publication; voir Michelson à Poincaré, 28.04.1899 (§ 2-41-2).
• 2 La transcription de Nature veut que ce soit $x/4$, 0, $-x/4$, mais la limite pour $z>0$, $z=0$, et $z<0$ est $\pi/2$, 0, et $-\pi/2$, respectivement, comme l’observe E. Hewitt et R. Hewitt (1979, 153). Nous corrigeons uniquement la coquille de $x$ pour $\pi$.
• 3 Poincaré voulait écrire : $$\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac{\sin kz}{k}.$$