1-1-134. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

[2/1/1897]

Mon cher ami,

Mon intention est de publier ma note sur le Problème des 3 corps avec quelques développements dans le Bulletin Astronomique ; vous pourrez bien entendu la reproduire si vous le jugez convenable.

Si après avoir été développée, elle devenait trop longue pour le Bulletin, je vous demanderai la permission de vous l’envoyer. Je n’ai pas encore reçu la rédaction définitive de Painlevé ; cela m’intéresserait parce que je m’occupe dans ce moment de la méthode de Bruns pour mon cours et que j’aurais volontiers rapproché les deux choses.

Tous mes souhaits de bonheur pour vous et mes respectueux hommages pour Madame Mittag-Leffler.

Poincaré

ALS 2p. IML 81, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: " 5.05.2019 15:12"

Notes

• 1 Date du cachet de la poste de Paris. Paris-2 janvier 1897 — Djursholm-5 janvier 1897.
• 2 Voir § 1-1-133, note 4.
• 3 Painlevé 1897.
• 4 Bruns (1888) a prouvé que le problème des trois corps n’admet pas d’autres intégrales algébriques que les intégrales connues. Poincaré a consacré un paragraphe à cette méthode dans le deuxième tome des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (1893, 253) ainsi qu’une note aux Comptes rendus (Poincaré 1896, Lévy 1952, 512–516) dans laquelle il rectifie certaines imprécisions de la démonstration originale de Bruns et signale certains cas d’exception. D’autre part, durant le premier semestre de l’année universitaire 1896-1897, Poincaré faisait un cours Sur le problème des trois corps et les perturbations planétaires. On peut penser que c’est en le préparant qu’il a constaté les insuffisances du travail de Bruns et les a réparées.
• 5 Painlevé fait allusion à la méthode de Bruns dans le 22^e chapitre des Leçons de Stockholm, intitulé Conclusions générales sur les équations d’ordre quelconque. Dans ce chapitre, il commence par analyser les divers modes de génération des fonctions analytiques et leur utilité dans la recherche de transcendantes. Il étudie d’abord “la définition à l’aide de séries”. Tout en signalant que c’est le mode le plus général et que “dans certains cas simples, le développement même qui engendre la fonction, met en évidence les propriétés fondamentales de la fonction”, Painlevé constate deux graves objections à l’emploi des séries comme procédé de définition : Mais d’une part, la représentation d’une transcendante par une série se prête mal en général à la découverte des propriétés de cette transcendante. D’autre part, comment choisir, parmi l’infinité de séries possibles, celles qui définissent une fonction nouvelle vraiment utile contribuant à l’intégration des équations différentielles. (Painlevé 1972, 737) Une autre méthode est “la définition par des conditions fonctionnelles” (par exemple le théorème de Weierstrass sur les fonctions qui admettent un théorème d’addition). Painlevé souligne que “l’existence d’une relation fonctionnelle simple constitue évidemment une propriété très importante de la fonction”. Mais la détermination et l’étude d’une fonction d’après des conditions fonctionnelles données, est en général “un problème de la plus profonde difficulté”. Pour Painlevé, la définition la plus naturelle est celle à l’aide d’équations différentielles “puisque le but final de l’analyse doit être, en somme, d’intégrer les équations différentielles à une ou plusieurs variables”. Dans les leçons précédentes, il s’est, en particulier, intéressé aux transcendantes (T) engendrées par les équations différentielles algébriques en $x$, $y$, $y^{\prime}$, $y^{\prime\prime}$, …. Il divise les systèmes différentiels en deux classes : une classe générale dont l’intégrale est fonction algébrique des conditions initiales et une classe singulière dont l’intégrale est au contraire une fonction transcendante des conditions initiales. Les seules difficultés subsistant dans le premier cas sont celles relatives à l’irréductibilité de la relation algébrique qui définit l’intégrale. D’un autre côté, Painlevé a développé des méthodes qui permettent d’aborder spécifiquement des classes importantes de systèmes singuliers (au moins en se limitant au $2^{e}$ ordre). Enfin la fin de cette leçon est l’occasion pour Painlevé de montrer que les méthodes qu’il a précédemment développées dans le cas d’équations différentielles algébriques “peuvent s’employer utilement à l’étude d’équations quelconques”. Il considère ainsi un système $$\frac{{dx}}{X}=\frac{{dx_{1}}}{{X_{1}}}=\cdots=\frac{{dx_{n}}}{{X_{n}}}=\frac{{dy_{1}}}{{Y_{1}}}=\cdots=\frac{{dy_{m}}}{{Y_{m}}}$$ où les X, Y désignent des fonctions des variables $$(x,x_{1},\ldots,x_{n},y_{1},\ldots,y_{m})$$ algébriques en $(y_{1},\ldots,y_{m})$, algébriques ou simplement analytiques en $(x,x_{1},\ldots,x_{n})$. Painlevé analyse la détermination des intégrales premières de (S), algébriques en $(y_{1},\ldots,y_{m})$ et distingue deux cas selon “que (S) admet ou non des intégrales premières $\varphi(x,x_{1},\ldots,x_{n})=\text{cte}$, indépendantes de $(y_{1},\ldots,y_{m})$.” Il applique en particulier ces résultats à un système de la forme : $$\frac{{dx_{i}}}{{dt}}=x^{\prime}_{i}\frac{dx^{\prime}_{i}}{dt}=\frac{P_{i}(x^{\prime}_{1},\ldots,x^{\prime}_{n},x_{1},\ldots,x_{n})}{Q_{i}(x^{\prime}_{1},\ldots,x^{\prime}_{n},x_{1},\ldots,x_{n})},\quad(i=1,2,\ldots,n)$$ où $Q$ et les $P_{i}$ sont des polynômes en $x^{\prime}_{1}$, …, $x^{\prime}_{n}$ et dépendent analytiquement de $(x,x_{1},\ldots,x_{n})$ et obtient des théorèmes sur la détermination des intégrales de ces systèmes et en particulier de ceux de la dynamique : Ces théorèmes s’appliquent notamment aux équations de la dynamique qui définissent le mouvement d’un système matériel à liaisons indépendantes du temps et soumis à des forces qui sont fonctions seulement de la position du système. Si notamment les géodésiques du système (trajectoires du mouvement sans forces) sont algébriques, les intégrales premières, algébriques par rapport aux vitesses, sont données par des quadratures quelles que soient les forces : c’est ce qui a lieu, par exemple, pour les systèmes de points matériels libres. En m’appuyant sur ces propositions, j’ai pu généraliser le théorème de M. Bruns sur les intégrales premières du problème des $n$ corps et montrer que ce problème n’admet pas d’intégrale première algébrique par rapport aux vitesses, en dehors des intégrales classiques. (Painlevé 1972, 744–745)