1-1-157. Gösta Mittag-Leffler à H. Poincaré

[17.05.1900]

Mon cher ami,

Les théorèmes de M. Desaint sont tous erronés malheureusement, parce que les intégrales qu’il emploie pour représenter ses fonctions ne représentent pas la même fonction analytique à l’intérieur et à l’extérieur du cercle de convergence de la série de Taylor, qui lui sert pour point de départ.

M. Phragmén vient de me faire là-dessus les remarques suivantes.

Considérons par exemple la fonction $\theta(\tilde{u},\,z)$ qui figure dans sa formule fondamentale${}^{*}$

$$\sum A_{n}z^{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\psi\left(\tilde{u}\right)\theta\left(\tilde{u},z\right)d\tilde{u}}$$

(p. 10 du manuscrit).

Cette fonction est définie pour $R\left(\frac{\tilde{u}}{i}\right)>0$ par l’intégrale définie

$$\theta\left(\tilde{u},z\right)=-i\int_{0}^{1}\frac{y^{-i\tilde{u}-1}}{1-y^{i}z}dy$$

Cette intégrale, pour $|z|<1$, se développe en une série procédant suivant les puissances de $z$

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left({-i}\right)\int_{0}^{1}{y^{-i\left({\tilde{u}-n}\right)-1}dy}z^{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{{z^{n}}}{{\tilde{u}-n}}}}$$

De même, pour $|z|>1$, on a

$$-i\int_{0}^{1}\frac{y^{-i\tilde{u}-1}}{1-y^{i}z}dy =-\frac{1}{z}\left[-i\int_{0}^{1}\frac{y^{-i(\tilde{u}+1)-1}}{1-y^{i}\frac{1}{z}}dy\right]$$

$$=-\frac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(-i\right)\int_{0}^{1}{y^{-i(\tilde{u}+1+n)}dy}\frac{1}{z^{n}}}$$

$$=-\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{z^{-n}}{\tilde{u}+n}}$$

Désignons cette dernière fonction par $\theta_{1}(\tilde{u},z)$. On vérifie immédiatement que les fonctions $\theta(\tilde{u},z),\theta_{1}(\tilde{u},z)$ satisfont toutes les deux à l’équation différentielle

$$z\frac{d\theta}{d\tilde{u}}-\theta=\frac{1}{z-1},$$

dont la solution la plus générale peut s’écrire,

$$\theta=z^{\tilde{u}}\left({F\left({\tilde{u}}\right)+\int{\frac{{z^{-\tilde{u}-1}}}{{z-1}}dz}}\right)$$

$F(\tilde{u})$ désignant une fonction de $\tilde{u}$ seulement.

On en conclut immédiatement que la fonction $\theta\left({\tilde{u},z}\right)$ peut être continuée au delà du cercle $\left|z\right|\leq 1$ et reste régulière dans le domaine de la variable $z$ qu’on obtient en excluant du plan entier la partie de l’axe réel situé entre $z=1$ et $z=+\infty$.

De même la fonction $\theta_{1}(\tilde{u},z)$ peut être continuée au delà du cercle $\left|z\right|\geq 1$ et reste régulière dans le domaine obtenu en excluant du plan la partie de l’axe réel situé entre $z=0$ et $z=1$.

Cela suffit pour démontrer que les fonctions $\theta\left({\tilde{u},z}\right)$ et $\theta_{1}(\tilde{u},z)$ ne sont pas identiques. En effet, si c’était le cas, cette fonction serait uniforme et régulière dans tout le plan à l’exception du point $z=1$. Dans ce point la fonction deviendrait infinie d’un ordre logarithmique seulement, et il s’ensuivrait qu’elle devrait être une constante, ce qui n’est pas le cas.

D’ailleurs on peut facilement déterminer la différence $\theta-\theta_{1}$. Cette différence est en effet de la forme

$$\phi(u)\;z^{u}$$

de manière que ce n’est que la fonction $\phi(u)$ qu’il s’agit de déterminer.

Or on a évidemment

$$\theta(\tilde{u},-1)=\frac{1}{u}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{\tilde{u}-n}}$$

et de même

$$\theta_{1}\left({\tilde{u},-1}\right)=-\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{{\left({-1}\right)^{-n}}}{{\tilde{u}+n}}}$$

Donc

$$\phi\left(u\right)\left({-1}\right)^{u}=\frac{1}{u}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\left({-1}\right)^{n}\left({\frac{1}{{\tilde{u}-n}}+\frac{1}{{\tilde{u}+n}}}\right)}=\frac{\pi}{{\sin\pi u}}$$

et

$$\theta\left({u,z}\right)-\theta_{1}\left({u,z}\right)=\frac{\pi}{\sin\pi u}e^{u\log\left(-z\right)}$$

où $\log\left(-x\right)$ doit être pris réel pour $z$ réel et négatif.

Vu[e] la gravité de ces remarques je n’ai pas besoin d’insister sur d’autres dans son mémoire qui me paraissent entièrement inadmissibles.

Veuillez agréer, mon cher ami, l’expression de mon amitié bien sincère.

* J’ai simplifié un peu la notation en écrivant $z,\;0,\;1$ au lieu de

$$\frac{z-z_{0}}{r},\ a_{0},\ \omega.x$$

TLX 3p. Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "29.07.2020 19:09"

Notes

• 1 Cette lettre est en partie dactylographiée sur un papier à en-tête : “Professor Mittag-Leffler/Djursholm, Stockholm”. On dispose du double dactylographié de cette lettre ainsi que d’un brouillon rédigé par Phragmén (Brefkoncept 2594) et annoté légèrement par Mittag-Leffler. Les formules qui figurent dans le brouillon sont absentes de la copie dactylographiée dont nous disposons. Le texte de Phragmén commence par : Remarques sur le mémoire manuscrit de M. Desaint “Sur la représentation analytique des fonctions quelconques”.
• 2 Variante: “La différence de nos deux fonctions est de la forme $\theta(u,z)-\theta_{1}(u,z)=\phi(u)z^{u}.$ On s’assure aisément que $\phi(u)$ n’est pas nul identiquement”.
• 3 Phragmén montre que les fonctions $\theta$ et $\theta_{1}$ définies comme solutions du problème à l’intérieur et à l’extérieur du disque unité peuvent être prolongées au delà de leur domaine de définition. Desaint avait implicitement admis que ces fonctions étaient identiques. Or, si elles l’étaient, ces deux fonctions représenteraient une même fonction qui admettrait 1 comme seul point singulier. En considérant les formules intégrales qui définissent $\theta$ et $\theta_{1}$, il vient que ce point singulier est logarithmique ce qui entraîne, en appliquant le théorème de Liouville (Titchmarsh 1932, 85), que cette fonction est une constante.
• 4 Variante : “Il est inutile d’insister davantage”. Le texte de Phragmén s’arrête là.