1-1-169. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

[22.11.1900] 11endnote: 1 Date du cachet de la poste de Paris. Paris 22 novembre — Djursholm-25 novembre.

Mon cher ami,

On va mettre sous presse les Comptes Rendus des travaux du congrès des Mathématiciens ; on commencera naturellement par les conférences.22endnote: 2 Poincaré ne parle pas encore de la conférence programmatique de Hilbert Sur les problèmes futurs des mathématiques (1902). En effet, celle-ci n’était à l’origine qu’une communication et ne sera insérée comme conférence qu’ultérieurement “en raison de sa grande importance” (Comptes rendus du deuxième Congrès international des mathématiciens — Paris 1900, p. 24).. Celles de MM. Cantor33endnote: 3 Cantor M. 1902. Dans sa conférence, Moritz Cantor fait le point sur l’histoire des mathématiques. et Volterra44endnote: 4 Volterra 1902. Dans cette conférence, Volterra analyse les travaux de Betti, Brioschi et Casorati. et la mienne55endnote: 5 Poincaré 1902. Poincaré analyse les rôles de l’analyse et de la logique dans les mathématiques. Il commence par distinguer deux types de mathématiciens : les analystes ou logiciens comme Weierstrass, et les géomètres ou intuitifs comme Riemann. Le plus souvent, les seconds font apparaître de nouvelles voies, mais “l’intuition ne peut nous donner la rigueur, ni même la certitude”. L’intuition peut même être trompeuse et il est nécessaire d’introduire de la rigueur dans les définitions des objets mathématiques et par là dans les raisonnements : Longtemps les objets dont s’occupent les mathématiciens étaient pour la plupart mal définis ; on croyait les connaître parce qu’on se les représentait avec les sens ou l’imagination ; mais on n’en avait qu’une image grossière et non une idée précise sur laquelle le raisonnement pût avoir prise.
C’est là d’abord que les logiciens ont dû porter leurs efforts. […] Il ne reste plus aujourd’hui en Analyse que des nombres entiers ou des systèmes finis ou infinis de nombres entiers, reliés entre eux par un réseau de relations d’égalité ou d’inégalité.
Les Mathématiques, comme on l’a dit, se sont arithmétisées. (Poincaré 1902, 120) Poincaré termine en soulignant que malgré le processus d’arithmétisation des mathématiques, le recours à l’intuition est toujours indispensable : Avons-nous atteint enfin la rigueur absolue ? A chaque stade de l’évolution nos pères croyaient aussi l’avoir atteinte. S’ils se trompaient, ne nous trompons-nous pas comme eux ?
Nous croyons dans nos raisonnement ne plus faire appel à l’intuition ; les philosophes nous diront que c’est là une illusion. La logique toute pure ne nous mènerait jamais qu’à des tautologies ; elle ne pourrait créer du nouveau ; ce n’est pas d’elle toute seule qu’aucune science peut sortir. […]
Ainsi, la logique et l’intuition ont chacune leur rôle nécessaire. Toutes deux sont indispensables. La logique qui peut seule donner la certitude est l’instrument de la démonstration ; l’intuition est l’instrument de l’invention. (Poincaré 1902, 121–126) sont déjà composées. Il est donc urgent pour ne pas retarder la publication que vous nous envoyiez votre manuscrit que nous n’avons pas encore dans les mains.66endnote: 6 Mittag-Leffler 1902.

Votre ami dévoué,

Poincaré

ALS 2p. IML 100, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "30.08.2020 00:03"

Notes

  • 1 Date du cachet de la poste de Paris. Paris 22 novembre — Djursholm-25 novembre.
  • 2 Poincaré ne parle pas encore de la conférence programmatique de Hilbert Sur les problèmes futurs des mathématiques (1902). En effet, celle-ci n’était à l’origine qu’une communication et ne sera insérée comme conférence qu’ultérieurement “en raison de sa grande importance” (Comptes rendus du deuxième Congrès international des mathématiciens — Paris 1900, p. 24).
  • 3 Cantor M. 1902. Dans sa conférence, Moritz Cantor fait le point sur l’histoire des mathématiques.
  • 4 Volterra 1902. Dans cette conférence, Volterra analyse les travaux de Betti, Brioschi et Casorati.
  • 5 Poincaré 1902. Poincaré analyse les rôles de l’analyse et de la logique dans les mathématiques. Il commence par distinguer deux types de mathématiciens : les analystes ou logiciens comme Weierstrass, et les géomètres ou intuitifs comme Riemann. Le plus souvent, les seconds font apparaître de nouvelles voies, mais “l’intuition ne peut nous donner la rigueur, ni même la certitude”. L’intuition peut même être trompeuse et il est nécessaire d’introduire de la rigueur dans les définitions des objets mathématiques et par là dans les raisonnements : Longtemps les objets dont s’occupent les mathématiciens étaient pour la plupart mal définis ; on croyait les connaître parce qu’on se les représentait avec les sens ou l’imagination ; mais on n’en avait qu’une image grossière et non une idée précise sur laquelle le raisonnement pût avoir prise. C’est là d’abord que les logiciens ont dû porter leurs efforts. […] Il ne reste plus aujourd’hui en Analyse que des nombres entiers ou des systèmes finis ou infinis de nombres entiers, reliés entre eux par un réseau de relations d’égalité ou d’inégalité. Les Mathématiques, comme on l’a dit, se sont arithmétisées. (Poincaré 1902, 120) Poincaré termine en soulignant que malgré le processus d’arithmétisation des mathématiques, le recours à l’intuition est toujours indispensable : Avons-nous atteint enfin la rigueur absolue ? A chaque stade de l’évolution nos pères croyaient aussi l’avoir atteinte. S’ils se trompaient, ne nous trompons-nous pas comme eux ? Nous croyons dans nos raisonnement ne plus faire appel à l’intuition ; les philosophes nous diront que c’est là une illusion. La logique toute pure ne nous mènerait jamais qu’à des tautologies ; elle ne pourrait créer du nouveau ; ce n’est pas d’elle toute seule qu’aucune science peut sortir. […] Ainsi, la logique et l’intuition ont chacune leur rôle nécessaire. Toutes deux sont indispensables. La logique qui peut seule donner la certitude est l’instrument de la démonstration ; l’intuition est l’instrument de l’invention. (Poincaré 1902, 121–126)
  • 6 Mittag-Leffler 1902.

Références