1-1-176. Gösta Mittag-Leffler à H. Poincaré

[2/10/1901]

Mon cher ami,

Je suis enfin dans l’état de pouvoir commencer la publication

Monumenta Mathematica Opera Mathematicarum ab Ipsis descripta

dont le premier cahier sera rempli par votre notice. La partie bibliographique de votre notice a été revue et corrigée avec le plus grand soin. Il est pourtant possible qu’il y a quelque chose encore qui a été oublié[e]. Veuillez dans ce cas corriger dans l’épreuve. Veuillez de même ajouter pour les travaux que vous avez publiés après la rédaction de la notice. /

Veuillez maintenant encore, je vous en prie, m’envoyer d’abord votre dernière photographie et puis une vita c’est à dire né tel et tel an, élève de l’école des mines tels et tels ans et toutes les places que vous avez occupées jusqu’ici ou que vous occupez encore, l’énumération complète de toutes les académies ou des sociétés savantes dont vous êtes membre, si vous êtes membre ordinaire, correspondant ou honoraire, les universités où vous êtes docteur [honoris causa]. Vous voyez que c’est une politesse envers les différentes académies, sociétés et universités de n’oublier personne et de rendre exactement votre position envers eux.

Quant à la photographie, il serait le mieux de faire prendre une nouvelle chez un très bon photographe et de m’envoyer la plaque non retouchée. La photolithographie qui sera de même espèce mais meilleure que celles que j’ai publiées dans les Acta d’Abel, de Weierstrass et de Sophie Kowalevski devient supérieure si on la prend directement de la plaque.

Maintenant, j’ai une prière à vous faire. Vous savez que le mois d’Août l’année prochaine, il y aura le centième anniversaire d’Abel. Il est probable qu’on va célébrer cet anniversaire par des grandes fêtes à Christiania auxquelles seront invités des géomètres étrangers. Vous viendrez, j’espère et j’y compte alors de vous voir après chez moi à Djursholm.

Je dois publier pour l’anniversaire un volume des Acta où il n’y aura que des mémoires qui se rapportent directement à quelques ouvrages d’Abel. Je veux avoir un si grand nombre d’autant que possible. Je n’ai donc besoin de demander de chacun plus qu’un travail de peu d’étendue. Mais il est d’importance que le travail sera dans mes mains au moins le mois de Janvier l’année prochaine. Voulez vous être assez bon pour m’envoyer un tel travail. Il est évident qu’il n’y aura pas pour vous la moindre difficulté de le trouver dans votre trésor encore inédit. Si vous voulez écrire sur les fonctions abéliennes, votre travail peut être un résumé des résultats et une indication des problèmes les plus importants qu’il y a encore à résoudre.

Madame Mittag-Leffler se réunit avec moi dans la prière que vous veuillez bien nous rappeler au bon souvenir de Madame Poincaré ainsi qu’à toute votre famille.

Votre ami dévoué,

M. L.

ADftS 4p. IML 2940, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Notes

• 1 Le 1er janvier 1901, Mittag-Leffler avait déjà presque choisi le titre de sa nouvelle publication. Dans une lettre adressée à Volterra, il soumet ce titre à son approbation. Ne serait-il pas bien de faire paraître la publication sous le titre “Mathematicarum Opera ab ipsis descripta”. (Lettre de Mittag-Leffler à Volterra datée du 1er janvier 1901— IML — Brefkoncept 2770)
• 2 Le centenaire de la naissance d’Abel sera célébré à Christiania du 4 au 7 septembre 1902.
• 3 Picard sera le seul mathématicien français présent à cette cérémonie.
• 4 [mémoires] rayé.
• 5 Mittag-Leffler consacrera en fait trois tomes (26 (1902), 27 (1903) et 28 (1904)) des Acta mathematica au centenaire de la naissance d’Abel.
• 6 [chaqu’un] rayé.
• 7 [peti] rayé.
• 8 Poincaré 1902. Poincaré présente dans ce mémoire “un exposé d’ensemble de ses travaux sur les fonctions abéliennes” tout en ajoutant quelques résultats nouveaux. Il organise son texte autour de deux théorèmes fondamentaux : Théorème A. — Si l’on a p+1 fonctions de p variables, méromorphes pour toutes les valeurs de ces p variables et admettant p périodes distinctes, ces fonctions sont liées par une relation algébrique. (Poincaré 1902, 476) Théorème B. — Toute fonction 2p fois périodique de p variables peut s’exprimer par le moyen des fonctions $\Theta$. (Poincaré 1902, 486) Poincaré propose une nouvelle démonstration du théorème B qui s’inspire entre autre des résultats de Cousin. Puis, il rappelle ses résultats sur la réduction des intégrales abéliennes. Il distingue deux cas particuliers : le “cas singulier elliptique” où la fonction $\Theta$ (de rang $p$) peut se réduire au produit de $p$ fonctions elliptiques et le “cas singulier abélien” où la fonction $\Theta$ peut se réduire au produit de plusieurs fonctions $\Theta$ de rang moindre. Poincaré a montré qu’il n’y a pas d’autres cas de réduction que ceux “qui par une transformation d’ordre convenable, peuvent être ramenés soit au cas singulier elliptique, soit au cas singulier abélien” (Poincaré 1902, 520). Par contre, “étant donnée une fonction abélienne quelconque, on peut toujours trouver une infinité de fonctions abéliennes réductibles qui en diffèrent aussi peu que l’on veut” (1902, 520–521). Il explique alors que pour aborder les questions générales de théorie des fonctions abéliennes, il est souvent utile de résoudre le problème dans les cas singuliers et de “montrer ensuite que le résultat ne peut être différent dans ce cas singulier de ce qu’il est dans le cas général” (1902, 520).