1-1-25. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

Paris, le 26 Janvier 1883

Mon cher ami,

Je vous envoie par la poste une esquisse de la démonstration que j’ai trouvée de ce théorème que $F(x,\,y)$ fonction méromorphe est le quotient de $G(x,\,y)$ et $G_{1}(x,\,y)$ fonctions entières. Cette esquisse est assez succincte et j’énonce un grand nombre de points, sans en donner in extenso la démonstration. Mais j’ai jugé inutile de le faire ; car la démonstration n’aurait été qu’une répétition presque textuelle des raisonnements par lesquels on établit les propriétés du potentiel newtonien. Je pense donc que le lecteur pourra les rétablir sans peine et que vous pourrez insérer mon manuscrit tel quel. Toutefois s’il vous paraissait nécessaire d’insister sur quelque point, je pourrais vous en envoyer la démonstration que vous joindriez au texte, par exemple sous forme de note.

Vous verrez aisément quel est le principe de ma méthode. Dans une fonction de deux variables $x+iy$ et $z+it$, je distingue la partie réelle $u$ que je considère comme fonction des 4 variables réelles $x$, $y$, $z$, $t$. Une pareille fonction n’est qu’un cas particulier des fonctions potentielles qui satisfont à l’équation $\Delta u=0$ et qui sont bien plus maniables que les fonctions de 2 variables. Je puis en effet construire de pareilles fonctions en les assujettissant à admettre des singularités déterminées ce que je ne puis faire avec des fonctions de 2 variables. Je n’ai plus ensuite qu’à appliquer vos méthodes.

Je vais commencer bientôt à rédiger mon mémoire sur les groupes kleinéens ; il sera, je pense, plus court que les deux premiers.

J’ai eu de vos nouvelles par MM. Hermite et Picard qui m’ont dit que Madame Mittag-Leffler allait beaucoup mieux. J’espère que ma lettre vous trouvera complètement hors de peine.

Veuillez agréer, mon cher ami, l’assurance de mes sentiments affectueux.

Poincaré

ALS 3p. IML 10, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: " 7.06.2022 10:47"

Notes

• 1 Paris-26 janvier — Stockholm-29 janvier.
• 2 Voir § 24, note.
• 3 Poincaré (1883b); Valiron (1950, 147–161).
• 4 Poincaré fait ici allusion au principe de Dirichlet.
• 5 Poincaré montre que la fonction $F$ peut localement se mettre sous la forme $N/D$ et forme alors une fonction harmonique $\Phi$ telle que $\Phi-\log|D|$ soit holomorphe. Pour former la fonction $\Phi$, il suffit d’appliquer, sans rien y changer, la méthode par laquelle M. Weierstrass a démontré le théorème de M. Mittag-Leffler. (Poincaré 1883b, 158)
• 6 Poincaré 1883a; Nörlund and Lebon (1916, 258–299).