1-1-26. Gösta Mittag-Leffler à H. Poincaré

Stockholm, 1/2 1883

Mon cher ami,

Votre démonstration ainsi que votre lettre me sont arrivées hier. Je vous remercie de votre permission de vous demander des explications ou des notes de votre mémoire. J’espère pouvoir me mettre à le lire ces jours mêmes, et l’ayant étudié je vous écrirai plus au long.

En attendant je vous félicite chaudement d’avoir vaincu une difficulté qui me paraît être une des plus grandes dans l’analyse.

Votre mémoire sur les fonctions fuchsiennes est bientôt prêt et sera imprimé sitôt que toutes les épreuves seront revenues de Paris. Le troisième mémoire de ce cycle sera mis en œuvre dès qu’il se trouve dans mes mains. Je me suis maintenant arrangé de manière de pouvoir commencer tout de suite les mémoires de grande importance comme les vôtres.

Quant à la démonstration que vous m’avez envoyée hier j’espère que vous me permettrez d’attendre quelques jours jusqu’à ce que j’aurai eu le temps de l’étudier au fond et de vous demander les notes que vous avez eu l’obligeance de m’offrir.

Madame Mittag-Leffler est maintenant en bonne santé. Elle me charge de la rappeler au bon souvenir de Madame Poincaré.

Agréez, je vous en prie, mon cher ami, l’expression de la haute considération avec laquelle je suis votre ami dévoué.

G. Mittag-Leffler

/ P. S. Une faiblesse de la main droite me force d’écrire avec crayon et de faire ensuite copier mes lettres.

Expliquez-moi je vous en prie le suivant : Vous supposez qu’il existe autour du point $X_{0}\,Y_{0}$ une région $R_{0}$ la fonction $F\left({x,y}\right)$ pourra se mettre sous la forme

$$N_{0}/D_{0};$$

de même il existe autour d’un autre point $X_{1}\,Y_{1}$ une région $R_{1}$ où F pourra s’écrire

$$N_{1}/D_{1}.$$

Mais si les deux régions $R_{0}$ et $R_{1}$ ont une partie commune, $N_{1}$ pourra ne pas être la continuation analytique de $N_{0}$ . Cela est clair. Mais je ne sais pas si vous avez raison quand vous dites : “Tout ce que nous savons, c’est que dans la partie commune aux deux régions, le rapport

$$N_{1}/N_{0}$$

ne devient ni nul, ni infini”. Supposez par exemple que vous avez

$$\frac{{N_{1}}}{{D_{1}}}=\frac{{f\left({x,y}\right)N^{\prime}_{1}}}{{f\left({x,y}\right)D^{\prime}_{1}}}$$

et qu’il y a des points ou des lignes $f(x\,y)=0$ communs aux $R_{0}$ et $R_{1}$. Alors c’est évident que le rapport

$$N_{1}/N_{0}$$

peut devenir zéro.

J’aimerais aussi à savoir pourquoi un point x y z t appartiendra au plus à cinq des régions $R_{1}^{0}$, $R_{2}^{0}$, $\cdots$ Pourquoi justement cinq ? Mais c’est une chose qui s’explique peut-être dans la suite de votre mémoire.

ALS 3p. Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Notes

• 1 Cette lettre est recopiée par un copiste. Outre l’original, on dispose du brouillon (Brefkoncept 12).
• 2 Mittag-Leffler était d’autant plus intéressé par ce résultat que Weierstrass et lui-même avaient essayé de le démontrer : J’ai reçu un mémoire splendide de Poincaré. Weierstass en sera bien étonné. Il démontre que chaque fonction méromorphe $F(x,y)$ peut toujours s’écrire sous la forme $$G_{1}(x,y)/G_{0}(x,y)$$ où $G_{1}$ ou $G_{0}$ sont des fonctions entières algébriques ou transcendantes. J’ai cherché cette démonstration depuis longtemps et je sais que Weierstrass l’a fait lui aussi. Pourtant il y a un point très essentiel qui n’est pas clair encore. C’est qu’il n’est pas démontré que les deux fonctions $G_{1}$ et $G_{0}$ n’ont pas de diviseur commun. Mais je n’ai pas encore étudié le mémoire de Poincaré. Après l’avoir fait je vous écrirai plus à la longue. (Lettre de Mittag-Leffler à Hermite du 30 janvier 1883 — AS)
• 3 Cette partie de la lettre est de la main de Mittag-Leffler et n’a pas été recopiée.
• 4 Poincaré 1883, 148.
• 5 Poincaré répond à ces deux questions dans la lettre suivante.