1-1-27. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

Nancy, le 6 Février 1883

Mon cher ami,

J’ai reçu ici votre aimable lettre dont je vous remercie ; je suis absent de Paris depuis trois jours et je compte y rentrer après demain.

Vous me demandez quelques explications au sujet de mon mémoire sur les fonctions de deux variables. Vous me demandez d’abord pourquoi je dis que dans la partie commune aux deux régions $R_{0}$ et $R_{1}$ le rapport

$$N_{1}/N_{0}$$

ne devient ni nul, ni infini ; c’est que je suppose que dans la région $R_{0}$ les deux fonctions holomorphes $N_{0}$ et $D_{0}$ ne s’annulent à la fois que pour des points isolés, ou si vous voulez qu’elles ne peuvent pas être toutes deux divisibles par une même fonction $\varphi$ s’annulant à l’intérieur de $R_{0}$ . Cette supposition est toujours permise et de plus elle est absolument indispensable pour la suite de la démonstration.

Voici d’ailleurs pourquoi elle est permise : Si $N_{0}$ et $D_{0}$ ont un facteur commun qui s’annule au point $X_{0}$, $Y_{0}$ il est possible de former effectivement ce facteur et de le faire disparaître. Si $N_{0}$ et $D_{0}$ n’ont pas de facteur commun s’annulant en $X_{0}$, $Y_{0}$ il sera possible de prendre la région $R_{0}$ assez petite pour qu’il n’y ait pas de facteur commun s’annulant à l’intérieur de $R_{0}$.

Vous me demandez pourquoi un point $x$, $y$, $z$, $t$ appartiendra au plus à cinq des régions R. Je ne pouvais disposer de ces régions de telles façon qu’un point appartînt au plus à quatre de ces régions. En effet considérons la partie commune à 4 régions R, elle satisfera aux 4 inégalités :

$$S_{1}<0S_{2}<0S_{3}<0S_{4}<0$$ (1)

Les quatre équations :

$$S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}=0$$

auront toujours des solutions communes ; dans le voisinage d’une de ces solutions il y aura des points satisfaisant aux 4 inégalités (1) et n’appartenant par conséquent à aucune autre région R que les 4 régions considérées, et des points qui satisferont aux 4 inégalités

$$S_{1}>0S_{2}>0S_{3}>0S_{4}>0$$

et qui n’appartiendront à aucune des 4 régions $R_{1},R_{2},R_{3},R_{4}$ à cause de ces inégalités ; ni à aucune autre région R puisqu’ils sont infiniment voisins des premiers.

Au contraire, on peut toujours disposer des régions R, de telle sorte qu’un point appartienne au moins à 1 et au plus à 5 d’entre elles. Vous pouvez aisément vous rendre compte de tout cela en considérant seulement deux dimensions en envisageant des cercles. Le nombre est alors 3 et non plus 5. Cela n’a d’ailleurs aucune importance pour ce qui suit.

Il ne me reste que la place de vous serrer la main et de vous prier de présenter à Madame Mittag les amitiés de ma femme et mes respects.

Poincaré

ALS 4p. IML 11, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Notes

• 1 Paris-6 février — Stockholm-10 février. Cette lettre est publiée en partie dans les Acta mathematica 38, p. 157-158.
• 2 [faire disparaître] rayé.
• 3 [deux] rayé.
• 4 [inégale] rayé.
• 5 On peut recouvrir un plan avec des disques de telle manière que trois au plus s’intersectent.