1-1-79. Gösta Mittag-Leffler à H. Poincaré

Stockholm 30/1 1889

Mon cher ami,

Merci de vos notes C, D, E, F, G. En ayant reçu de même vos additions au note B j’ai cru inutile de vous renvoyer la note.

Voulez vous me dire tout sincèrement mais sous le sceau du plus grand secret de ma part votre opinion sur les développements que M. Gyldén a proposés dans son grand mémoire dans les Acta. Dans votre mémoire vous dites qu’il ne vous est point possible de dire s’ils convergent ou non.

Etes vous arrivé maintenant à une opinion plus fixée là-dessus. Vous m’avez bien écrit des choses qui ont des rapports avec / cette question mais je ne suis pas sûr de vous comprendre tout à fait et d’avoir bien saisi votre opinion.

Vous recevrez la médaille dans quelques jours ainsi que l’argent en or suèdois.

Madame Mittag-Leffler et moi présentons nos hommages à Madame Poincaré.

Tout à vous.

Mittag-Leffler

ALS 2p. Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: " 2.05.2019 23:10"

Notes

• 1 Cette lettre est recopiée par un copiste. Outre l’original, on dispose du brouillon (Brefkoncept 1216).
• 2 Voir §§ 76 et 78.
• 3 Gyldén 1887.
• 4 Dans l’introduction du mémoire original, Poincaré évoque les travaux de Gyldén et Lindstedt en signalant que les développements qu’ils ont obtenus ne contiennent pas de termes séculaires. Bien que ces séries représentent un net progrès par rapport aux procédés plus classiques d’approximations successives, la question de la convergence de ces développements reste ouverte : On peut se demander si les séries ainsi obtenues sont convergentes et comme la présence de “petits diviseurs” a pour effet de rendre certains termes très grands, on peut avoir des doutes sérieux au sujet de cette convergence. Le présent travail montrera que ces doutes sont fondés ; toutes ces séries divergent ; je dois réserver toutefois les séries proposées par M. Gyldén dans son dernier mémoire (Acta, t. 9) ; en ce qui les concerne, je n’ai aucun moyen de reconnaître si elles sont convergentes ou divergentes. (La première impression du mémoire, IML, p. 6) Ensuite, Poincaré traite exclusivement de la divergence des séries de Lindstedt. Il précise néanmoins que ces démonstrations “s’appliquent à toutes les séries de même forme” et souligne que même divergentes, les séries de Lindstedt restent utiles pour les calculs : En terminant, je dois déclarer que les considérations qui précèdent n’enlèvent rien au mérite pratique des développements de M. Lindstedt. Ils ne convergent pas ; donc ils ne peuvent donner une approximation indéfinie ; mais ils peuvent donner assez rapidement une approximation très grande et très suffisante pour les besoins de la pratique. Je serais désolé d’avoir jeté quelque discrédit sur ces séries ; si je les ai choisies comme exemple pour développer des considérations qui s’appliquent également bien à tous les autres développements proposés, c’est précisément parce que je regarde la méthode de M. Lindstedt comme l’une des meilleures qui soit connues. (Première impression du mémoire, IML, p. 174)
• 5 L’opinion de Weierstrass au sujet des travaux de Gyldén était sans ambiguité : Sehr leid thut es mir, dass Gyldén sich über ungerechte Behandlung beklagt. Obwohl für mich keine Veranlassung vorliegt, seine Arbeiten zu erwähnen, da er sich nicht um den Preis beworben hat, so würde ich doch gern ihm volle Anerkennung ausgesprochen haben, wenn ich es mit gutem Gewissen könnte. Aber, so sehr ich mich darum bemüht habe, ich verstehe G[yldén]’s Arbeiten nicht, oder vielmehr, ich bleibe im ungewissen darüber, ob die Resultate richtig sind oder nicht. Das mag an meiner mangelhaften Kenntniss des Gegenstandes liegen, aber tüchtigen theoretischen Astronomen geht es ebenso. Ich habe drei mit der Störungstheorie vollkommen vertraute Astronomen zu Rathe gezogen, sie stimmen alle darin überein, dass G[yldén]’s Untersuchungen bis jetzt durchaus kein befriedigendes Resultat geliefert haben — weder für die Praxis noch für die Theorie. (Lettre de Weierstrass à Mittag-Leffler datée du 19 novembre 1888 — IML)