1-1-98. Gösta Mittag-Leffler à H. Poincaré

[18/3/90]

Mon cher ami,

M. Phragmén a dû vous répondre quant à l’époque où votre mémoire paraîtra. Quant aux frais de la nouvelle publication je ne sais rien là-dessus avant que la publication sera tout fait mais alors je me permettrai de vous les communiquer.

J’ai deux élèves qui suivent votre cours maintenant M. Kobb et Mademoiselle Lagerborg. Ils sont tous les deux très enthousiasmés quoiqu’ils éprouvent une certaine difficulté de saisir au fond toutes vos profondes idées. M. Bohlin avait espéré aussi de pouvoir aller à Paris mais il s’est trouvé au dernier moment qu’il ne pouvait pas.

Permettez moi de vous exposer un résultat assez remarquable qui a été trouvé par un autre de mes élèves M. Fredholm et que je vous prie de communiquer aux “comptes rendus” si vous trouvez cela opportun.

Autant que je sache toutes les fonctions qui n’existent que dans un certain domaine du plan et qui ont été étudié[es] jusqu’ici cessent d’exister parce que les fonctions elles-mêmes ou leurs dérivées deviennent discontinues sur la frontière. M. Fredholm a trouvé dans un des champs les plus connus de l’Analyse une fonction qui est continue ainsi que toutes ses dérivées sur toute la frontière qui limite le domaine d’existence de la fonction.

Ecrivez la fonction $\theta$ sous la forme

$$\sum\limits_{\nu=-\infty}^{\infty}{e^{\nu^{2}t+\nu{\kern 1.0pt}u}}=\sum\limits_{\nu=-\infty}^{-1}{e^{\nu^{2}t+\nu{\kern 1.0pt}u}}+\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{e^{\nu^{2}t+\nu{\kern 1.0pt}u}}$$

et mettez

$$\varphi(t,\;u)=\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{e^{\nu^{2}t+\nu{\kern 1.0pt}u}}.$$

Si la partie réelle de $\nu$ est négative, la fonction est une fonction uniforme de t pour toutes les valeurs de t, dont la partie réelle soit négative. La fonction ainsi que toutes ses dérivées sont des fonctions continues de t sur l’axe imaginaire. Mais cet axe imaginaire forme la limite du domaine d’existence de la fonction. Pour voir cela vous n’avez que faire l’observation que la fonction $\varphi(t,\;u)$ satisfait à l’égalité

$$\frac{{\partial\varphi}}{{\partial t}}=\frac{{\partial^{2}\varphi}}{{\partial u^{2}}}$$

et de mettre $\varphi(t,\;u)=\Phi(t-t_{0})$

$$\varphi\left({t,u}\right)=\varphi\left({t_{0},u}\right)+\left({\frac{{\partial\varphi}}{{\partial t}}}\right)_{t=t_{0}}\frac{{t-t_{0}}}{{1!}}+\cdots=\varphi\left({t_{0},u}\right)+\left({\frac{{\partial^{2}\varphi}}{{\partial t^{2}}}}\right)_{t=t_{0}}\frac{{t-t_{0}}}{{1!}}+\cdots$$

où $t_{0}$ est un point sur l’axe imaginaire.

D’après le théorème connu de Madame Kowalevski la série $\Phi(t-t_{0})$ ne peut être convergente à moins que $\varphi(t_{0},\;u)$ soit une fonction entière rationnelle ou transcendante de $u$. Cela n’a pas lieu et la fonction $\varphi(t,\;u)$ regardée comme fonction de $t$ n’existe donc quand $u$ est une constante dont la partie réelle reste négative que pour le domaine : partie réelle de $t<0$.

En mettant

$$e^{t}=x,\quad e^{u}=a,\quad|a|<1$$

vous obtenez une fonction de $x$

$$\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{a^{\nu{\kern 1.0pt}}x^{\nu^{2}}}$$

qui n’existe que pour $\left|x\right|<1$ et qui soit continue ainsi que toutes ses dérivées pour $\left|x\right|=1$. Il est facile à voir qu’on peut de beaucoup généraliser ce résultat obtenu par M. Fredholm. Madame M L me prie de la rappeler au bon souvenir de M. Poincaré et je vous serre bien cordialement la main.

Tout à vous.

M. L.

Mon mémoire sur les invariants des équations différentielles linéaires paraîtra bientôt. J’espère que vous y trouverez quelques résultats dignes de votre intérêt.

ADftS 4p. IML-1397, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "26.08.2024 22:09"

Notes

• 1 Le 20 mars 1890, Phragmén écrit à Poincaré pour lui suggérer quelques corrections (voir annexe n°3).
• 2 Variante : “…je me permettrai de vous faire une communication là-dessus les communiquer.”
• 3 Kobb et Lagerborg sont admis à la Société mathématique de France du 5 février 1890. Kobb y prononcera une courte conférence (Kobb 1891) sur les surfaces développées.
• 4 Variante : “Permettez moi de vous communiquer exposer …”.
• 5 Mittag-Leffler fait référence au travail de Fredholm, sur une classe de lignes singulières (Fredholm 1890; 1955, 1–5). Les travaux de Fredholm donneront lieu à une note de Mittag-Leffler aux Comptes rendus (Mittag-Leffler 1890) qui paraîtra aussi dans le tome 15 des Acta mathematica (Mittag-Leffler 1891b). Dans cette note, Mittag-Leffler expose la démonstration du résultat de Fredholm en insistant sur le fait que la série $$\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{a^{\nu}x^{\nu^{2}}}\left|a\right|<1$$ n’admet pas de prolongement analytique au delà du domaine de convergence alors que la fonction ainsi définie et ses dérivées sont continues sur sa frontière. En posant $a=e^{u}$, $x=e^{t}$, cette fonction se ramène à une solution de l’équation de la chaleur. Selon Nils Zeilon (1930), Fredholm considérait que “c’était justement la relation avec l’équation de la chaleur qui donnait de l’intérêt à sa série” et qu’“il n’avait jamais approuvé que Mittag-Leffler, dans sa présentation de la “transcendante remarquable de M. Fredholm”, ait surtout insisté sur ce que la fonction possède des dérivées de tous les ordres, continues sur le cercle de convergence, propriété qu’il a regardée comme étant au fond assez banale”. Alors que le résultat de Fredholm est juste, sa démonstration contient une interprétation erronée d’une remarque de Kovalevskaya sur les équations aux dérivées partielles (Kovalevskaya 1875, 22), comme l’ont observé Khavinson & Shapiro (1994). Ces derniers ont corrigé la démonstration de Fredholm avec l’aide du théorème de Zerner (1971). A ce sujet, voir aussi le récit de Bottazzini & Gray (2013, 624).
• 6 Variante : “Cette fonction vérifie l’équation partielle $\frac{{\partial\varphi}}{{\partial t}}=\frac{{\partial^{2}\varphi}}{{\partial u^{2}}}$”.
• 7 Kovalevskaya désigne par $\varphi_{0}\left({y,\,b}\right)$ une série de puissances de $y-b$. La série $$\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{\frac{{d^{2\nu}\varphi_{0}\left({y,b}\right)}}{{dy^{2\nu}}}\frac{{\left({x-a}\right)^{\nu}}}{{\nu!}}}$$ vérifie formellement l’équation de la chaleur. Kovalevskaya montre alors qu’une telle série est nécessairement divergente si la série $\varphi_{0}\left({y,\,b}\right)$ admet un rayon de convergence fini: […] daraus folgt, dass die Reihe $$\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{\frac{{d^{2\nu}\varphi_{0}\left({y,b}\right)}}{{dy^{2\nu}}}\frac{{\left({x-a}\right)^{\nu}}}{{\nu!}}}$$ niemals convergent ist, wie klein man auch $x-a$, $y-b$ annehmen möge, wenn die Reihe $\varphi_{0}\left({y,\,b}\right)$ nur einen beschränkten Convergenzbezirk besitzt. Aber auch wenn $\varphi_{0}\left({y,\,b}\right)$ eine beständig convergirende Reihe ist, kann die vorstehende Reihe beständig Divergent sein. Dies ist z.B. der Fall, wenn man $$\varphi_{0}(y,b)=\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}\frac{(y-b)^{\nu}}{(\nu!)^{1/4}}$$ annimmt, weil dann die eben angegebenen Bedindungen für die Coefficienten der Reihe $\varphi_{0}\left({y,\,b}\right)$ nicht erfüllt sind. (Kovalevskaya, 1875, 24)
• 8 Variante : “à moins que $\varphi(t_{0},u)$ soit une fonction soit une fonction entière”.
• 9 Variante : “…vous obtenez une série de puissance …”.
• 10 Mittag-Leffler (1891a).