4-63-2. Edvard Phragmén à H. Poincaré

le 20 mars 1890

Cher Monsieur,

En corrigeant les épreuves des feuilles 5–7 de votre mémoire que je vous envoie aujourd’hui, je vous prie de bien vouloir examiner en particulier les points suivants.

Il me semble que vous avez omis un point essentiel dans la démonstration des pages 17 et 18. En effet, ce qui permet de dire que si le théorème est vrai jusqu’à $t=t_{0}$ il l’est encore pour des valeurs de $t$ égales et supérieures à $t_{0}$, c’est que le rayon de convergence du développement de la solution suivant les puissances de

$$t-t_{1}$$

étant désigné par

$$R(t_{1},\mu),$$

il existe une constante positive $g$ et une fonction de $t_{1}$ positive pour $t_{1}<t_{0}$, $M(t_{1})$ telles que pour

$$t_{1}<t_{0}$$

et

$$|\mu|<R(t_{1})$$

on a

$$R(t_{1},\mu)>g.$$

C’est ce qu’on voit immédiatement en partant des principes les plus connus du calcul des limites. Aussi n’ai-je nullement la prétention de faire une addition à votre démonstration et ai-je seulement voulu attirer votre attention sur un point qu’il y aurait peut-être lieu de faire mieux ressortir.

A la page 19 il faudrait à la rigueur écrire les équations de la ligne 3 sous la forme

$$\begin{array}[]{cc}\frac{dx_{1}}{dt}=x^{\prime}_{1},&\frac{dx^{\prime}_{1}}{dt}=\frac{m_{2}(x_{2}-x_{1})}{r_{12}^{3}}+\frac{m_{3}(x_{3}-x_{1})}{r_{13}^{3}}\end{array}$$

Le cas d’exception se présentera donc toutes les fois qu’un $r$ vient à s’annuler, ou qu’un $x_{1}$ ou un $x^{\prime}_{1}$ devient infini. Mais il est vrai que l’intégrale des forces vives nous montre, si l’on se borne à des valeurs réelles des variables que $x^{\prime}_{1}$ ne peut devenir infini sans que $r$ s’annule.

Peut-être jugerez vous convenable d’intercaler un mot pour rappeler cela.

Je ne comprends pas bien la seconde démonstration du théorèmes II (page 21). Je ne doute pas que le théorème peut être démontré de cette manière à condition qu’on évite les différentiations par rapport à $t$, par lesquelles on introduit, en partant des éq[uations] (4), des termes qui n’ont pas de correspondants dans les éq[uations] dérivées des éq[uations] (5). Je pense en particulier à une méthode due à M. Lipschitz. Mais alors il semble insuffisant de renvoyer à Cauchy tout simplement.

Veuillez agréer, cher Monsieur, l’expression des sentiments les plus distingués de votre dévoué

E. Phragmén

ALSX 4p. Mittag-Leffler Institute, Djursholm. Previously transcribed in Nabonnand (1999, 383–384).

Time-stamp: "18.08.2022 12:49"

Notes

• 1 Poincaré (1890); rééd. Lévy (1952, 274).