3-42-2. Martial Simonin à H. Poincaré

Nice le 12 Avril 1896

Cher Monsieur,

Je me permets de vous adresser les résultats que j’ai obtenus au sujet de l’orbite d’Hécube (108).

D’après les indications que vous avez bien voulu me donner, j’ai introduit une constante de plus dans mes formules qui n’en contenaient que 3 au lieu de 4. De plus j’ai tenu compte, pour les termes principaux, du carré de l’excentricité ; j’ai ainsi obtenu, dans les expressions du périhélie et de l’excentricité, le terme en $\begin{array}[]{l}\sin\\ \cos\end{array}(J-\overline{3\theta_{0}-g_{0}}t)$ que j’avais introduit empiriquement au mois d’octobre dernier pour diminuer les résidus.

J’ai résolu à nouveau les équations qu’on obtient par la méthode d’identification de Delaunay; pour cela je me suis servi de ce que j’avais une valeur approchée de chacune de ces inconnues pour négliger certains termes et en conserver d’autres, sans tenir compte de l’exposant de la masse perturbatrice.

En outre dans l’expression du demi-grand axe, j’ai introduit un terme à longue période contenant le carré de la masse. Enfin j’ai déterminé les perturbations périodiques les plus importantes du demi-grand axe, de la longitude moyenne, du périhélie et de l’excentricité. En se servant des formules de Le Verrier, on trouve les coefficients suivants exprimés en secondes d’arc :

pour la longitude:

$$366^{\prime\prime} \sin(\lambda^{\prime}-\lambda),\quad 37^{\prime\prime} \sin(\lambda^{\prime}-\varpi),\quad -34^{\prime\prime} \sin(\lambda^{\prime}-\varpi^{\prime}),\quad 77^{\prime\prime} \sin(5\lambda^{\prime}-3\lambda-2\varpi)$$

$$441^{\prime\prime} \sin 2(\lambda^{\prime}-\lambda),\quad 52^{\prime\prime} \sin(\lambda^{\prime}-\varpi),\quad 228^{\prime\prime} \sin(3\lambda^{\prime}-2\lambda-\varpi^{\prime}),\quad -112^{\prime\prime} \sin(5\lambda^{\prime}-3\lambda-\varpi-\varpi^{\prime})$$

$$182^{\prime\prime} \sin 3(\lambda^{\prime}-\lambda),\quad -344^{\prime\prime} \sin(3\lambda^{\prime}-2\lambda-\varpi),\quad 83^{\prime\prime} \sin(4\lambda^{\prime}-3\lambda-\varpi^{\prime})$$

$$86^{\prime\prime} \sin 4(\lambda^{\prime}-\lambda),\quad -123^{\prime\prime} \sin(4\lambda^{\prime}-3\lambda-\varpi),\quad 46^{\prime\prime} \sin(5\lambda^{\prime}-4\lambda-\varpi^{\prime})$$

$$44^{\prime\prime} \sin 5(\lambda^{\prime}-\lambda),\quad -61^{\prime\prime} \sin(5\lambda^{\prime}-4\lambda-\varpi)$$

et pour l’excentricité :

$$-39^{\prime\prime} \cos(\lambda-\varpi), 82^{\prime\prime} \cos(3\lambda^{\prime}-\lambda-2\varpi)$$

$$-83^{\prime\prime} \cos(\lambda^{\prime}-\varpi), -59^{\prime\prime} \cos(5\lambda^{\prime}-3\lambda-2\varpi)$$

$$189^{\prime\prime} \cos(3\lambda^{\prime}-2\lambda-\varpi),\qquad -53^{\prime\prime} \cos(3\lambda^{\prime}-\lambda-\varpi-\varpi^{\prime})$$

$$70^{\prime\prime} \cos(4\lambda^{\prime}-3\lambda-\varpi), 43^{\prime\prime} \cos(5\lambda^{\prime}-3\lambda-\varpi-\varpi^{\prime})$$

$$32^{\prime\prime} \cos(5\lambda^{\prime}-4\lambda-\varpi)$$

Le terme à longue période contenant le carré de l’excentricité de l’orbite de Jupiter a toujours été négligé; par suite je n’ai pas tenu compte des perturbations à courte période contenant ce carré ; le plus fort des termes ainsi négligés a pour coefficient 36" de longitude.

Les formules qui m’ont servi sont, en ne transcrivant pas les perturbations à courte période et en posant : $\mathcal{L}=\sqrt{a}$, $\lambda=$ longitude moyenne, $\xi=\sqrt{L}e\cos\varpi$, $\eta=\sqrt{L}e\sin\varpi$,

$$\mathcal{L} =G_{0}+A-\frac{G_{0}}{2}B^{2}-\frac{E_{1}^{2}}{2}\cos^{2}\theta_{0}t-BE_{1}G_{0}\cos\theta_{0}t+B^{\prime}E_{1}G_{0}\sin\theta_{0}t$$

$$\quad+A_{1}\cos\left(J-\overline{\theta_{0}-g_{0}}t-g^{\prime}-h^{\prime}\right),$$

$$\lambda =J+nt+A\frac{\partial(\theta_{0}-g_{0})}{\partial G_{0}}t+\frac{3}{2G_{0}^{3}}B^{2}t+B(\theta_{1}-g_{1})\sin\theta_{0}t+B^{\prime}(\theta_{1}-g_{1})\cos\theta_{0}t$$

$$\quad+B^{2}(\theta_{2}-g_{2})\sin 2\theta_{0}t-C+B_{1}\sin(J-\overline{\theta_{0}-g_{0}}t-g^{\prime}-h^{\prime}),$$

$$\xi =\left[E_{1}\sqrt{G_{0}}+A\frac{\partial(E_{1}\sqrt{G_{0}})}{\partial G_{0}}+\sqrt{G_{0}}E^{\prime}B^{2}\right]\cos(J-\overline{\theta_{0}-g_{0}}t)$$

$$\quad+\left[AE_{1}\sqrt{G_{0}}\frac{\partial(\theta_{0}-g_{0})}{\partial G_{0}}+\frac{3e_{1}\sqrt{G_{0}}}{2G_{0}^{3}}B^{2}\right]t\sin(J-\overline{\theta_{0}-g_{0}}t)$$

$$\quad+B\sqrt{G_{0}}\cos(J+g_{0}t)-B^{\prime}\sqrt{G_{0}}\sin(J+g_{0}t)+BE_{2}\sqrt{G_{0}}\cos(J-\overline{2\theta_{0}-g_{0}}t)$$

$$\quad+B^{2}E_{3}\sqrt{G_{0}}\cos(J-\overline{3\theta_{0}-g_{0}}t)+C_{1}\cos(g^{\prime}+h^{\prime}),$$

$$\eta =\left[E_{1}\sqrt{G_{0}}+A\frac{\partial(E_{1}\sqrt{G_{0}})}{\partial G_{0}}+\sqrt{G_{0}}E^{\prime}B^{2}\right]\sin(J-\overline{\theta_{0}-g_{0}}t)$$

$$\quad-\left[AE_{1}\sqrt{G_{0}}\frac{\partial(\theta_{0}-g_{0})}{\partial G_{0}}+\frac{3e_{1}\sqrt{G_{0}}}{2G_{0}^{3}}B^{2}\right]t\cos(J-\overline{\theta_{0}-g_{0}}t)$$

$$\quad+B\sqrt{G_{0}}\sin(J+g_{0}t)+B^{\prime}\sqrt{G_{0}}\cos(J+g_{0}t)+BE_{2}\sqrt{G_{0}}\sin(J-\overline{2\theta_{0}-g_{0}}t)$$

$$\quad+B^{2}E_{3}\sqrt{G_{0}}\sin(J-\overline{3\theta_{0}-g_{0}}t)+C_{1}\sin(g^{\prime}+h^{\prime}).$$

Vu la difficulté du calcul des coefficients $\theta_{1}$ $g_{1}$ $\theta_{2}$ $g_{2}$ etc. …, j’ai conservé ces notations malgré leur complication. Les valeurs numériques des constantes de ces formules sont :

$$n =613^{\prime\prime},576 J =166^{\circ},59^{\prime} \theta_{0} =16^{\prime\prime},176 A_{1} =[\overline{3}.167997]_{n}$$

$$G_{0} =[0,842200] E_{1} =[\overline{2}.363093] g_{0} =0^{\prime\prime},856 B_{1} =[\overline{2}.394700]_{n}$$

$$A =[\overline{2}.527508] E^{\prime} =[0,008790]_{n} \theta_{1}-g_{1} =[0,439290]\quad C_{1} =[\overline{2}.662960]_{n}$$

$$B =[\overline{2}.988653] E_{2} =[\overline{3}.080174]_{n} \theta_{2}-g_{2} =[\overline{1}.744784]_{n}$$

$$B^{\prime} =[\overline{3}.888869]\quad E_{3} =[\overline{1}.373974]_{n}\quad \frac{\partial(\theta_{0}-g_{0})}{\partial G_{0}} =[\overline{3}.093583]_{n}$$

$$C =[\overline{2}.211722]$$

J’ai mis entre crochets [ ], au lieu des nombres, leurs logarithmes. On obtient ainsi les éléments d’Hécube rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe de 1850,0; l’époque est 1897 septembre 23,5, temps moyen de Berlin.

Je rappelle rapidement qu’on a posé $\theta=\lambda-2\lambda^{\prime}$, puis

$$\theta = \theta_{0}(t+c)+\theta_{1}\sin\theta_{0}(t+c)+\theta_{2}\sin 2\theta_{0}(t+c)$$

$$g = g_{m}+g_{0}(t+c)+g_{1}\sin\theta_{0}(t+c)+g_{2}\sin 2\theta_{0}(t+c)$$

$$e = e_{0}+e_{1}\sin\theta_{0}(t+c)+e_{2}\sin 2\theta_{0}(t+c)+e_{3}\sin 3\theta_{0}(t+c)$$

$e_{1}$, $e_{2}$, $e_{3}$ peuvent se mettre sous la forme $\begin{array}[]{|rcl}e_{1}&=&E_{1}+E^{\prime}e_{0}^{2}\\ e_{2}&=&E_{2}e_{0}+\frac{E_{2}^{\prime}}{e_{0}}\\ e_{3}&=&E_{3}e_{0}^{2}+\cdots\\ \end{array}$

Les formules qui donnent $\Omega$, longitude du nœud ascendent et $i$, inclinaison de l’orbite, sont:

$$\operatorname{tg}(\Omega-J+\overline{\theta_{0}-g_{0}}t)=[0,001810]\operatorname{tg}\left[[\overline{1}.996483](353^{\circ}15^{\prime}9^{\prime\prime}-J+\overline{\theta_{0}-g_{0}}t)\right]$$

$$i=[\overline{2}.886269]\left\{[\overline{1}.996486]-[\overline{3}.616297]\cos[0,297543]\{353^{\circ}15^{\prime}9^{\prime\prime}-J+\overline{\theta_{0}-g_{0}}t\}\right\}^{\frac{1}{2}}$$

En comparant les ascensions droites et les déclinaisons données par les observations et par ces formules, on obtient les différences: $o-c$

Année	$\alpha$	$\delta$
1869	$-7^{s}$	$+68^{\prime\prime}$
71	$(-20)$	$-165$
74	$+9$	$+54$
75	$+8$	$-67$
76	$+4$	$+6$
77	$+3$	$+38$
78	$-9$	$-18$
80	$-6$	$+43$
81	$+5$	$-48$
86	$-1$	$+8$
88	$+6$	$+77$
89	$-9$	$-43$
92	$(-18)$	$+120$
1894	$+7$	$+71$

Etant donnés ces résidus, au lieu de calculer des lieux normaux, j’ai conservé, pour chaque opposition, une observation fictive, moyenne de plusieurs observations faites le même soir par divers observateurs.

On peut remarquer que les observations de 1871 et de 1892 sont distantes d’environ 21 ans, et que les arguments $3\lambda^{\prime}-2\lambda$, $3\lambda^{\prime}-\lambda$, $5\lambda^{\prime}-3\lambda$ et $\lambda^{\prime}$ ont pour période environ 11 ans. Je crois devoir attribuer ces deux résidus, non pas aux termes périodiques que j’ai négligés, mais plutôt à la suppression de tous les termes de $e^{3}$. D’ailleurs monsieur Perrotin a bien voulu me faire remarquer que dans le n° 368 de l’astronomical Journal p. 62, M^r Hill a trouvé pour la longitude de moyenne de Cérés des résidus de $-40^{\prime\prime}$ en 1857 et $+40^{\prime\prime}$ en 1866, quoique les éléments de cette planète ne présentent rien de particulier.

Comme je ne pouvais diminuer mes résidus en changeant le moyen mouvement, l’époque ou la masse, et que j’avais rencontré de grandes difficultés dans les calculs des divers coefficients numériques, j’ai cherché des coefficients empiriques; le premier terme de $\xi$ et de $\eta$ difficile à calculer donnerait de meilleurs résultats si on lui ajoutait le coefficient empirique: $[\overline{3}.231551]_{n}$. On peut remarquer aussi que le terme $B^{2}E_{3}\sqrt{G_{0}}\cos(J-\overline{3\theta_{0}-g_{0}}t)$ est plus important que le terme $BE_{2}\sqrt{G_{0}}\cos(J-\overline{2\theta_{0}-g_{0}}t)$. En outre on voit aisément que les observations de 1871–74–75 seraient mieux représentées si on diminuait la longitude du périhélie, et celles de 1892–94, si on l’augmentait. L’introduction du terme à longue période contenant le carré de l’excentricité de l’orbite de Jupiter ne donnerait pas de meilleurs résultats.

En résumé je ne vois pas comment avec les formules données plus haut, on peut obtenir des résidus inférieurs à ceux que j’ai transcrits ci-dessus. Je recours donc encore une fois à vos bienveillants conseils, trop heureux si vous êtes un peu satisfait des efforts que j’ai faits et des résultats obtenus.

Je vous prie de vouloir bien excuser la longueur de cette lettre.

Daignez agréer, cher Monsieur, l’expression de toute ma gratitude et de mon entier dévouement,

M. Simonin

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "10.05.2019 21:46"

Notes

• 1 Dans un premier temps, Simonin se sert des variables classiques : $$L=\sqrt{a},\qquad G=\sqrt{a(1-e^{2})},\qquad H=G\cos i,\qquad\gamma=\sin\frac{i}{2},$$ où $a$ est le demi-grand axe, $e$ l’excentricité, $i$ l’inclinaison. Après avoir exprimé les équations du système avec ces variables et obtenu une série de formules permettant de calculer $e$ et une expression $\theta$ égale à $$l+2g+2h-2l^{\prime}-2g^{\prime}-2h^{\prime}$$ où $l$ est l’anomalie moyenne, $g$ la distance du nœud ascendant au périhélie et $h$ la longitude du nœud, Simonin effectue un changement de variables “qui offre, entre autres avantages, celui de faire disparaître $e_{0}$ du dénominateur” (Simonin 1897, 17) : $$\begin{array}[]{r@{\; = \;}l}L&L,\\ \lambda&l+g+h,\\ \eta&\sqrt{L}\,e\sin(g+h),\\ \xi&\sqrt{L}\,e\cos(g+h),\end{array}$$ Simonin signale que les formules obtenues pour ces quatre variables donnent “pour employer le langage de M. Poincaré, toutes les solutions périodiques du problème restreint”. Ces formules dépendent de quatre constantes $G_{0}$ une constante arbitraire qui apparaît lorsque l’on considère la première du système $2L-G=G_{0}$, $e_{0}$, $g_{m}$ et $c$ des constantes d’intégration. En posant $J=g_{m}+h$ et $n=\theta_{0}-g_{0}+2n^{\prime}$, Simonin obtient une solution périodique de la première sorte (au sens de Poincaré) : $$\begin{array}[]{r@{\; = \;}l}L&G_{0},\\ \lambda&J+nt,\\ \eta&e_{11}\sqrt{G_{0}}\sin[J-(\theta_{0}-g_{0})t],\\ \xi&e_{11}\sqrt{G_{0}}\cos[J-(\theta_{0}-g_{0})t],\end{array}$$ Simonin poursuit son calcul en suivant la stratégie de Poincaré (Simonin 1897, 20) : “Dès qu’on connaît une solution périodique du problème, toutes celles qui en diffèrent peu s’obtiennent par l’intégration d’un système d’équations linéaires et homogènes ; ce sont ces équations que M. Poincaré a appelées équations aux variations.” Le traitement des équations aux variations fait apparaître des termes en $$\begin{array}[]{l}\sin\\ \cos\end{array}[J-(\theta_{0}-g_{0})t],\quad\begin{array}[]{l}\sin\\ \cos\end{array}[J-(2\theta_{0}-g_{0})t],\quad\text{ et }\begin{array}[]{l}\sin\\ \cos\end{array}[J-(3\theta_{0}-g_{0})t]$$ dans les séries de $\eta$ et $\xi$ (voir Simonin 1897, 24).
• 2 Ces formules sont celles que Simonin appelle les expressions définitives de $L$, $\lambda$, $\eta$ et $\xi$ (Simonin 1897, 30). Comme le rappelle Simonin, $A$, $B$, $B^{\prime}$, $C$ sont des constantes d’intégration qu’il faut déterminer à partir des observations et les autres coefficients sont des fonctions de $G_{0}$.
• 3 Variante : l’indice $n$ sur $C_{1}$ a été barré.
• 4 Les valeurs numériques obtenues dans la thèse (Simonin 1897, 53) sont sensiblement différentes.
• 5 $o-c$ désigne les différences entre les valeurs observées et celles calculées.