2-54-1. H. Poincaré à Arnold Sommerfeld

[Ca. 03.1912]

Mon cher Collègue,

J’ai examiné le mémoire de M. March que vous avez eu la bonté de m’envoyer. J’ai découvert l’origine de l’erreur de M. March.

A la page 39 de sa dissertation il envisage une certaine intégrale (94) que j’écrirai pour abréger

$$\Pi_{1}=\int{F(\alpha)d\alpha}.$$

l’intégrale est prise le long du contour $OMN\infty$.

Comme $\rho$ est très grand, il remplace $F(\alpha)$ par sa valeur approchée.

Soit $\Phi(\alpha)$ cette valeur approchée, cela veut dire que l’on a :

$$F(\alpha)=\Phi(\alpha)(1+\varepsilon)$$

$\varepsilon$ étant très petit de l’ordre de

$$\frac{1}{\rho}.$$

M. March obtient ainsi l’intégrale de la page 42, l’intégrale (100) que j’écris pour abréger

$$\int{\Phi(\alpha)d\alpha}.$$

et qu’il regarde comme une bonne approximation de (94).

Pour que cette vue fût exacte, il faudrait que l’erreur commise :

$$\Delta=\int{\varepsilon\Phi(\alpha)d\alpha}$$

fût négligeable devant l’intégrale (100) elle-même. Or il n’en est pas ainsi. Cette intégrale (100) calculée page 43 à la formule (101) est de l’ordre de $1/\rho$.

Quel est l’ordre de la quantité sous le signe $\int{}$

$$\varepsilon\Phi(\alpha)\quad\text{ ?}$$

$\Phi(\alpha)$ contient en facteur $\cos\left(\alpha\theta-\pi/4\right)$ lequel est de l’ordre de $e^{\beta\theta}$, $\beta$ étant la partie imaginaire de $\alpha$, laquelle peut atteindre $\rho$. Donc $\varepsilon\Phi(\alpha)$ est très petit par rapport à $\Phi(\alpha)$, mais très grand par rapport à $1/\rho$, c’est à dire par rapport à (100). L’intégrale des valeurs absolues

$$\int{\left|\,\varepsilon\Phi(\alpha)d\alpha\right|}$$

serait de l’ordre de $e^{\rho\theta}/\rho^{3}$ et c’est par suite de compensations que $\Delta$ est seulement de l’ordre de $1/\rho$, à peu près égale et de signe contraire à (100) de façon que la valeur exacte (94) soit très petite par rapport à la soi-disant valeur approchée (100).

Je profite de l’occasion pour me rappeler à votre bon souvenir.

Votre bien dévoué Collègue,

Poincaré

ALS 3p. HS 1977–28A/266, Archiv, Deutsches Museum.

Time-stamp: " 8.09.2024 16:31"

Notes

• 1 March (1911).
• 2 March’s equation (94) is: $$\Pi_{1}=-\frac{2k_{a}}{\rho^{2}}\int\limits_{OMN\infty}\alpha d\alpha P_{\alpha-\frac{1}{2}}(\cos\theta)\frac{\zeta_{\alpha-\frac{1}{2}}(\rho)}{\zeta^{\prime}_{\alpha-\frac{1}{2}}(\rho)}.$$
• 3 The figure does not appear in Poincaré (1912); it is a simplified version of March’s Figure 3, on page 39.
• 4 March’s equation (100) is: $$\Pi_{1}=-\frac{2k_{a}i}{\rho}\sqrt{\frac{2}{\pi\sin\theta}}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\rho^{2}-\alpha^{2}}}\cos\left(\alpha\theta-\frac{\pi}{4}\right)d\alpha.$$ This expression, March wrote, is a “gute Annäherung”, not of (94) but of (98), which he offers nonetheless as an approximation of (94).
• 5 March’s equation (101) is: $$\Pi_{1}=2\frac{k_{a}}{\rho}\frac{1}{\sqrt{\theta\sin\theta}}e^{-i\rho\theta}.$$
• 6 Le manuscrit comporte un trou à la place du dénominateur, que nous rétablissons.
• 7 Sommerfeld attended Poincaré’s Wolfskehl lectures held in Göttingen in April, 1909, and participated with Poincaré in the first Solvay Council held in Brussels from 30 October to 3 November, 1911. In a letter to Willy Wien, Sommerfeld acknowledged the correctness of Poincaré’s analysis of March’s error (Sommerfeld to W. Wien, 29.11.1913, NL 56–010, Archiv, Deutsches Museum).