4-73-3. Vladimir A. Steklov à H. Poincaré

Kharkow le 29 Avril 1898

Russie, Kharkow, Université

Monsieur,

Je vous prie d’agréer mes remerciements les plus vifs pour la présentation de ma Note : «   Sur un problème de la théorie analytique de la chaleur   », que vous avez bien voulu faire à l’Académie des Sciences le 4 Avril 1898.

Permettez moi aussi d’appeler votre attention sur quelques applications de ma méthode, indiquée dans ma Note tout à l’heure mentionnée.

Soit $(S)$ une surface fermée satisfaisant aux conditions :

$$\left.\begin{array}[]{lp{100mm}}1)&$(S)$ admet un plan tangent,\\ 2)&En tout point de $(S)$ les sections normales ont toutes des courbures finies et déterminées,\\ 3)&Le rapport de l'angle de contingence à l'arc tend vers sa limite, courbure uniformément pour toutes les sections normales au point considéré (Voir M.\leavevmode\nobreak\ Liapounoff, Comptes Rendus, le 22 Novembre 1897)\end{array}\right\}$$ (A)

Pour chaque telle surface $(S)$ existent les fonctions fondamentales $V_{s}$ ($s=1$, 2, …) de M. Le Roy, satisfaisant aux conditions

$$\begin{array}[]{cccc}V_{s}=\frac{\xi_{s}}{4\pi}\int\frac{V_{s}}{\tau}ds,&\int V_{s}^{2}ds=1,&\int V_{s}V_{\tau}ds=0,&\tau\neq s.\end{array}$$

Soit $f$ une fonction donnée sur $(S)$. Posons

$$f=\sum_{s=1}^{p}B_{s}V_{s}+R_{p},$$

$B_{s}$ étant des constantes arbitraires. On a

$$\begin{array}[]{ccc}W^{p}=\int R_{p}^{2}ds=\int f^{2}ds+\sum_{s=1}^{p}(C_{s}^{2}-A_{s}^{2}),&C_{s}=B_{s}=A_{s},&A_{s}=\int fV_{s}ds.\end{array}$$

Soit $U$ la fonction harmonique qui prend sur $(S)$ les valeurs $f$. D’après les recherches de M. Liapounoff $\frac{\partial U_{i}}{\partial n}$ et $\frac{\partial U_{\ell}}{\partial n}\ {}^{\left.*\right)}$ existent sous les conditions très générales par rapport à $f$, si $(S)$ satisfait aux conditions $(A)$. Nous aurons

$$V^{p}=\int R_{p}\left(\frac{\partial R_{pi}}{\partial n}-\frac{\partial R_{p\ell}}{\partial n}\right)ds=N+\sum_{s=1}^{p}\xi_{s}\left(C_{a}^{2}-A_{s}^{2}\right)$$

$$N=\int f\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial n}-\frac{\partial U_{\ell}}{\partial n}\right)ds.$$

Posons

$$\begin{array}[]{cc}B_{s}=\int\phi V_{s}ds,&\phi=\alpha_{1}\phi_{1}+\alpha_{2}\phi_{2}+\ldots+\alpha_{m}\phi_{m}.\end{array}$$

D’après le lemme de M. Le Roy, on peut choisir les $\alpha_{s}$ de telle façon que

$$\frac{V^{p}}{W^{p}}>K_{m},$$

$K_{m}$ étant un nombre, qui croît indéfiniment avec $m$.

Cela posé nous démontrons sans peine que

$$\lim W_{0}^{p}=0,$$

$W_{0}^{p}$ étant la valeur de $W^{p}$ pour $B_{s}=A_{s}$.

Par conséquent

$$\int f^{2}ds=\sum_{s=1}^{\infty}A_{s}^{2}.$$ (1)

De cette égalité nous tirerons immédiatement les théorèmes de M. Le Roy sur la possibilité du développement de la fonction donnée suivant les fonctions $V_{s}$.

Il est aisé de vérifier aussi que

$$\int fd\sigma=\sum_{s=1}^{\infty}A_{s}\int V_{s}d\sigma,$$ (2)

où $d\sigma$ désigne l’élément d’une portion quelconque de $(S)$.

Soit $\rho$ la densité d’une couche superficielle, dont le potentiel sur les points de $(S)$ est égal à $U$ ($U$ étant une fonction empirique). On a

$$\int\frac{\rho}{\tau}ds=U.$$

Il faut déterminer $\rho$?

Supposons que $\rho$ est fini et continu. On a

$$a_{s}=\int\rho V_{s}ds=\frac{\xi_{s}}{4\pi}\int UV_{s}ds.$$

Nous supposons que $U$ est seulement intégrable.

A l’aide de l’égalité (2) on peut déterminer la masse d’une portion arbitraire de la surface $(S)$. En effet

$$\int\rho d\sigma=\sum_{s=1}^{\infty}a_{s}\int V_{s}d\sigma.$$

La densité est donc complètement déterminée au point de vue de la physique. En posant $U=\text{const}$, nous aurons la solution du problème de la distribution de l’électricité.

Ces résultats ont lieu, si $(S)$ satisfait aux conditions assez générales $(A)$. Il est probable qu’ils seront encore vrais sans supposer que $\rho$ soit continu. Il faut remarquer que l’idée d’application de l’égalité (1) aux questions du caractère indiqué appartient à M. Liapounoff.

Je ne veux pas en ce moment publier ces recherches, je voudrais seulement d’appeler votre attention sur quelques applications de la méthode indiquée dans ma Note : „ Sur un problème etc. “.

Excusez moi, Monsieur, généreusement, si je vous incommode par ma lettre et agréez l’assurance de ma considération la plus distinguée.

W. Stekloff

${}^{\left.*\right)}\ n$ désigne la direction de la normale extérieure à $(S)$.

ALS 3p. Collection particulière, 75017 Paris.

Time-stamp: " 9.08.2022 21:56"

Notes

• 1 The city of Kharkiv became the capital of the Soviet Republic of Ukraine in 1917, and remained so until 1934.
• 2 Steklov (1898).
• 3 Liapunov (1897).
• 4 Le Roy (1896, 1898b, 1898c, 1898a).