4-73-3. Vladimir A. Steklov to H. Poincaré

Kharkow le 29 Avril 1898

Russie, Kharkow, Université11endnote: 1 The city of Kharkiv became the capital of the Soviet Republic of Ukraine in 1917, and remained so until 1934.

Monsieur,

Je vous prie d’agréer mes remerciements les plus vifs pour la présentation de ma Note : «   Sur un problème de la théorie analytique de la chaleur   », que vous avez bien voulu faire à l’Académie des Sciences le 4 Avril 1898.22endnote: 2 Steklov (1898).

Permettez moi aussi d’appeler votre attention sur quelques applications de ma méthode, indiquée dans ma Note tout à l’heure mentionnée.

Soit (S)(S) une surface fermée satisfaisant aux conditions :33endnote: 3 Liapunov (1897).

1)(S) admet un plan tangent,2)En tout point de (S) les sections normales ont toutes des courbures finies et déterminées,3)Le rapport de l’angle de contingence à l’arc tend vers sa limite, courbure uniformément pour toutes les sections normales au point considéré (Voir M. Liapounoff, Comptes Rendus, le 22 Novembre 1897)}\left.\begin{array}[]{lp{100mm}}1)&$(S)$ admet un plan tangent,\\ 2)&En tout point de $(S)$ les sections normales ont toutes des courbures % finies et déterminées,\\ 3)&Le rapport de l'angle de contingence à l'arc tend vers sa limite, courbure uniformément pour toutes les sections normales au point considéré (Voir M.\leavevmode\nobreak\ Liapounoff, Comptes Rendus, le 22 % Novembre 1897)\end{array}\right\} (A)

Pour chaque telle surface (S)(S) existent les fonctions fondamentales VsV_{s} (s=1s=1, 2, …) de M. Le Roy, satisfaisant aux conditions

Vs=ξs4πVsτ𝑑s,Vs2𝑑s=1,VsVτ𝑑s=0,τs.\begin{array}[]{cccc}V_{s}=\frac{\xi_{s}}{4\pi}\int\frac{V_{s}}{\tau}ds,&\int V% _{s}^{2}ds=1,&\int V_{s}V_{\tau}ds=0,&\tau\neq s.\end{array}

Soit ff une fonction donnée sur (S)(S). Posons

f=s=1pBsVs+Rp,f=\sum_{s=1}^{p}B_{s}V_{s}+R_{p},

BsB_{s} étant des constantes arbitraires. On a

Wp=Rp2𝑑s=f2𝑑s+s=1p(Cs2-As2),Cs=Bs=As,As=fVs𝑑s.\begin{array}[]{ccc}W^{p}=\int R_{p}^{2}ds=\int f^{2}ds+\sum_{s=1}^{p}(C_{s}^{% 2}-A_{s}^{2}),&C_{s}=B_{s}=A_{s},&A_{s}=\int fV_{s}ds.\end{array}

Soit UU la fonction harmonique qui prend sur (S)(S) les valeurs ff. D’après les recherches de M. Liapounoff Uin\frac{\partial U_{i}}{\partial n} et Un*)\frac{\partial U_{\ell}}{\partial n}\ {}^{\left.*\right)} existent sous les conditions très générales par rapport à ff, si (S)(S) satisfait aux conditions (A)(A). Nous aurons

Vp=Rp(Rpin-Rpn)𝑑s=N+s=1pξs(Ca2-As2)\displaystyle V^{p}=\int R_{p}\left(\frac{\partial R_{pi}}{\partial n}-\frac{% \partial R_{p\ell}}{\partial n}\right)ds=N+\sum_{s=1}^{p}\xi_{s}\left(C_{a}^{2% }-A_{s}^{2}\right)
N=f(Uin-Un)𝑑s.\displaystyle N=\int f\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial n}-\frac{\partial U% _{\ell}}{\partial n}\right)ds.

Posons

Bs=ϕVs𝑑s,ϕ=α1ϕ1+α2ϕ2++αmϕm.\begin{array}[]{cc}B_{s}=\int\phi V_{s}ds,&\phi=\alpha_{1}\phi_{1}+\alpha_{2}% \phi_{2}+\ldots+\alpha_{m}\phi_{m}.\end{array}

D’après le lemme de M. Le Roy, on peut choisir les αs\alpha_{s} de telle façon que

VpWp>Km,\frac{V^{p}}{W^{p}}>K_{m},

KmK_{m} étant un nombre, qui croît indéfiniment avec mm.

Cela posé nous démontrons sans peine que

limW0p=0,\lim W_{0}^{p}=0,

W0pW_{0}^{p} étant la valeur de WpW^{p} pour Bs=AsB_{s}=A_{s}.

Par conséquent

f2𝑑s=s=1As2.\int f^{2}ds=\sum_{s=1}^{\infty}A_{s}^{2}. (1)

De cette égalité nous tirerons immédiatement les théorèmes de M. Le Roy sur la possibilité du développement de la fonction donnée suivant les fonctions VsV_{s}.44endnote: 4 Le Roy (1896, 1898b, 1898c, 1898a).

Il est aisé de vérifier aussi que

f𝑑σ=s=1AsVs𝑑σ,\int fd\sigma=\sum_{s=1}^{\infty}A_{s}\int V_{s}d\sigma, (2)

dσd\sigma désigne l’élément d’une portion quelconque de (S)(S).

Soit ρ\rho la densité d’une couche superficielle, dont le potentiel sur les points de (S)(S) est égal à UU (UU étant une fonction empirique). On a

ρτ𝑑s=U.\int\frac{\rho}{\tau}ds=U.

Il faut déterminer ρ\rho?

Supposons que ρ\rho est fini et continu. On a

as=ρVs𝑑s=ξs4πUVs𝑑s.a_{s}=\int\rho V_{s}ds=\frac{\xi_{s}}{4\pi}\int UV_{s}ds.

Nous supposons que UU est seulement intégrable.

A l’aide de l’égalité (2) on peut déterminer la masse d’une portion arbitraire de la surface (S)(S). En effet

ρ𝑑σ=s=1asVs𝑑σ.\int\rho d\sigma=\sum_{s=1}^{\infty}a_{s}\int V_{s}d\sigma.

La densité est donc complètement déterminée au point de vue de la physique. En posant U=constU=\text{const}, nous aurons la solution du problème de la distribution de l’électricité.

Ces résultats ont lieu, si (S)(S) satisfait aux conditions assez générales (A)(A). Il est probable qu’ils seront encore vrais sans supposer que ρ\rho soit continu. Il faut remarquer que l’idée d’application de l’égalité (1) aux questions du caractère indiqué appartient à M. Liapounoff.

Je ne veux pas en ce moment publier ces recherches, je voudrais seulement d’appeler votre attention sur quelques applications de la méthode indiquée dans ma Note : „ Sur un problème etc. “.

Excusez moi, Monsieur, généreusement, si je vous incommode par ma lettre et agréez l’assurance de ma considération la plus distinguée.

W. Stekloff

n*){}^{\left.*\right)}\ n désigne la direction de la normale extérieure à (S)(S).

ALS 3p. Collection particulière, 75017 Paris.

Time-stamp: " 9.08.2022 21:56"

Notes

  • 1 The city of Kharkiv became the capital of the Soviet Republic of Ukraine in 1917, and remained so until 1934.
  • 2 Steklov (1898).
  • 3 Liapunov (1897).
  • 4 Le Roy (1896, 1898b, 1898c, 1898a).

Références

  • É. Le Roy (1896) Sur le problème de Dirichlet et les fonctions harmoniques fondamentales attachées à une surface fermée. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 123 (23), pp. 986–988. Link Cited by: endnote 4.
  • É. Le Roy (1898a) Sur l’intégration des équations de la chaleur (suite). Annales scientifiques de l’École normale supérieure 15, pp. 9–178. Link, Document Cited by: endnote 4.
  • É. Le Roy (1898b) Sur l’intégration des équations de la chaleur. Ph.D. Thesis, Faculté des sciences de Paris, Paris. Cited by: endnote 4.
  • É. Le Roy (1898c) Sur l’intégration des équations de la chaleur. Annales scientifiques de l’École normale supérieure 14, pp. 379–465. Link, Document Cited by: endnote 4.
  • A. M. Liapunov (1897) Sur l’instabilité de l’équilibre dans certains cas où la fonction de forces n’est pas un maximum. Journal de mathématiques pures et appliquées 3, pp. 81–94. Cited by: endnote 3.
  • V. A. Steklov (1898) Sur un problème de la théorie analytique de la chaleur. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 126, pp. 1022–1025. Cited by: endnote 2.