3-44-3. François-Félix Tisserand à H. Poincaré

Paris 1884 Février 26

Cher Monsieur,

Voulez-vous me permettre de vous signaler la question suivante :

Il s’agit d’intégrer les deux équations simultanées ci-dessous :

$$\left.\begin{aligned} \frac{de}{dt}&=M(1+M_{1}e^{2}+M_{2}e^{4})\sin\theta\\ \frac{d\theta}{dt}&=N(1+N_{1}e^{2}+N_{2}e^{4}+N_{3}e^{6})+\frac{M}{e}(1+P_{1}e^{2}+P_{2}e^{4})\cos\theta\end{aligned}\right\}$$ (1)

dans ces équations, $M$ $M_{1}$ $M_{2}$; $N$ $N_{1}$ $N_{2}$ $N_{3}$; $P_{1}$ $P_{2}$; désignent des constantes.

On suppose que, pour $t=0$, la valeur de $e$ est très petite, et que le coefficient $M$ est de l’ordre du carré de cette petite quantité; les autres coeff. sont finis. Delaunay a rencontré ces équations dans sa théorie de la Lune (voir le tome 28 des Mémoires de l’Académie des Sciences, page 107); il a donné les expressions intégrales de $e\cos\theta$ et de $e\sin\theta$ sous forme périodique; je crois qu’il serait intéressant d’étudier les conditions qui doivent être remplies pour que l’on ait effectivement :

$$\left.\begin{aligned} e\cos\theta&=\sum_{0}^{\infty}A_{i}\cos i\alpha(t+c)\\ e\sin\theta&=\sum_{0}^{\infty}B_{i}\sin i\alpha(t+c),\\ \end{aligned}\quad\right\}\quad\alpha\;\text{et}\;c\;\text{sont constants.}$$

en séries convergentes.

Ces questions n’ont pas été étudiées par Delaunay.

Les équations (1) se présentent constamment dans sa théorie, et se trouvent ainsi avoir une grande importance.

Je crois qu’il vous serait très facile de résoudre la question, si toutefois elle vous intéresse.

Veuillez agréer, Cher Monsieur, l’assurance de mes sentiments dévoués,

F. Tisserand

ALS 2p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 8.06.2019 19:00"

Notes

• 1 Delaunay s’intéresse au problème du mouvement de la lune autour de la terre en tenant compte de l’attraction solaire (1860, xxvi): “Déterminer, sous forme analytique, toutes les inégalités du mouvement de la Lune autour de la Terre, jusqu’aux quantités du septième ordre inclusivement, en regardant ces deux corps comme de simple points matériels, et tenant compte uniquement de l’action perturbatrice du Soleil, dont le mouvement apparent autour de la Terre est supposé se faire suivant les lois du mouvement elliptique, telle est donc la question que je me suis proposé de résoudre, et que j’ai résolue en effet, à l’aide d’un travail assidu de plusieurs années.” L’analyse du problème conduit Delaunay au système d’équations $$\left\{\begin{array}[]{r@{ = }l@{\quad}r@{ = }l@{\quad}r@{ = }l}\frac{dL}{dt}&\frac{dR}{dt},&\frac{dG}{dt}&\frac{dR}{dg},&\frac{dH}{dt}&\frac{dR}{dh}\\ \frac{dl}{dt}&-\frac{dR}{dL},&\frac{dg}{dt}&-\frac{dR}{dG},&\frac{dh}{dt}&-\frac{dR}{dH}\end{array}\right.$$ où $R$ désigne la fonction perturbatrice, $l$, l’anomalie moyenne de la lune, $g$, la distance angulaire du nœud ascendant au périgée et $h$, la longitude du nœud ascendant comptée à partir d’une ligne fixe. Si on appelle $a$ le demi-grand axe de l’orbite de la lune, $e$ son excentricité et $i$ son inclinaison, alors en notant $\mu$ la somme des masses de la terre et de la lune, $$L=\sqrt{a\mu},\qquad G=L\sqrt{1-e^{2}},\qquad H=G\cos i.$$ La méthode de Delaunay consiste à appliquer, comme l’a remarqué Tisserand (1890, 265), “un assez grand nombre d’opérations élémentaires ayant chacune pour but de faire disparaître un terme de la fonction perturbatrice $R$.” Quant à Delaunay, il a noté un nombre précis d’opérations (1860): “Nous avons donc effectué successivement les diverses opérations nécessaires pour enlever à la fonction perturbatrice $R$ la totalité des termes périodiques capables de fournir des inégalités d’un ordre inférieur au quatrième. […] Nous avons dû en effectuer 57.” Delaunay précise alors comment il est amené à étudier le système d’équations dont il est question dans la lettre de Tisserand ; lorsque après une des 57 opérations évoquées par Delaunay, la fonction perturbatrice est réduite à un terme non-périodique et à un seul terme périodique, Delaunay est conduit à étudier un système de la forme $$\frac{d\Theta}{dt}=A\sin\theta,\qquad\frac{d\theta}{dt}=\frac{dA}{d\Theta}\cos\theta+\frac{dB_{1}}{d\Theta}.$$ Dans le cas général, Delaunay utilise la méthode des approximations successives. Cette méthode devient inopérante lorsque la variable $e$ apparaît dans les diviseurs : “Mais il est arrivé plusieurs fois que l’une des deux équations différentielles contenait la variable $e$ en diviseur ; alors nous avons employé les formules suivantes, établies pour ce cas particulier. Soit à intégrer les équations différentielles $\left\{\begin{array}[]{r@{ = }l}\frac{de}{dt}&M(1+M_{1}e^{2}+M_{2}e^{4})\sin\theta\\ \frac{d\theta}{dt}&N(1+N_{1}e^{2}+N_{2}e^{4}+N_{3}e^{6})+\frac{M}{e}(1+P_{1}e^{2}+P_{2}e^{4})\cos\theta\end{array}\right.$” où $\theta$ désigne l’argument du terme de la fonction perturbatrice que l’on veut faire disparaître et $e$ est considéré comme une petite quantité du premier ordre.
• 2 Poincaré ne s’intéresse pas directement au système d’équations proposé par Tisserand. Par contre, il expose dans le deuxième tome des Méthodes nouvelles de la mécanique céleste (Poincaré 1893) la méthode de Delaunay comme l’une des premières à résoudre le problème des petits diviseurs. En revanche, Tisserand a donné une méthode de résolution du système d’équations qu’il évoque dans sa lettre (Tisserand 1890, 267) : “Delaunay a donné les intégrales approchées des équations, sans faire connaître la marche employée. J’ai pensé qu’il pouvait être utile de combler cette lacune, et c’est le but du présent travail.”