H. Poincaré to Giovanni Battista Guccia

Paris, le 27 Octobre 1888

Mon cher ami,

La lecture de la note de M. Vivanti, dans un des derniers numéros des Rendiconti, m’a vivement intéressé et m’a inspiré diverses réflexions qu’il ne sera peut être pas inutile de mettre sous les yeux de vos lecteurs.11endnote: 1 Vivanti 1888.

D’après M. Vivanti, une fonction multiforme et de la nne puissance, si l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre pour une valeur donnée de la variable est lui-même de la nne puissance, au sens de M. Cantor. En particulier, elle sera de la 1re puissance si elle peut prendre en un point donné une infinité de valeurs susceptibles d’être rangée en une série linéaire:

y1,y2,,yn,,y_{1},\,y_{2},\,\ldots,\,y_{n},\,\ldots,

de façon que chacune d’elles se trouve dans cette série une fois et une seule, avec un indice déterminé; si en d’autres termes, on peut assigner à chacune de ces valeurs un numéro d’ordre. Au contraire une fonction qui pourrait prendre en un point donnée, par exemple toutes les valeurs possibles commensurables, ou non, ou encore toutes les valeurs incommensurables serait de la 2de puissance. Je me propose d’établir qu’il n’y a pas de fonction analytique multiforme d’une puissance supérieure à la 1re. Mais pour cela il faut bien s’entendre sur ce qu’on doit appeler fonction analytique.

J’adopterai les définitions de M. Weierstrass.

Un élément de fonction analytique sera une série de puissance convergente à l’intérieur d’un certain cercle. Deux éléments de fonctions seront la continuation analytique l’un de l’autre, ou plus brièvement seront dérivés l’un de l’autre quand les deux cercles de convergence ont une partie commune et que dans cette partie commune les deux séries ont même somme.

Pour construire une fonction analytique, nous partirons d’un élément de fonction F0F_{0} convergent dans un certain cercle C0C_{0}. Nous construirons ensuite les divers éléments de fonction F1F_{1} dérivés de F0F_{0} ; puis les éléments F2F_{2} dérivés des divers éléments F1F_{1} ; puis les éléments F3F_{3} dérivés de F2F_{2} et ainsi de suite.

L’ensemble des éléments F1F_{1}, celui des éléments F2F_{2}, etc., sont de la 2de2^{de} puissance. Mais il n’est pas nécessaire d’envisager tous ces éléments pour obtenir toutes les déterminations de la fonction.

J’appellerai FiF_{i}^{\prime} ceux des éléments FiF_{i} dont le cercle de convergence CiC_{i}^{\prime} aura pour centre un point ayant ses deux coordonnées commensurables.

Il est aisé de vérifier que l’ensemble des éléments FiF_{i}^{\prime} est de la 1re puissance (et qu’il en est de même de l’ensemble des éléments Fi+1F_{i+1}^{\prime} dérivés d’un éléments FiF_{i} donné). On voit aussi sans peine que tout point intérieur à l’un des cercles de convergence C1C_{1} de l’un des éléments F1F_{1} sera aussi intérieur à l’un des cercles de convergence C1C_{1}^{\prime} de l’un des éléments F1F_{1}^{\prime}.

Tout cercle ayant une partie commune avec l’un des cercles C1C_{1} aura aussi une partie commune avec un des cercles C1C_{1}^{\prime}. Donc tout élément dérivé de l’un des éléments F1F_{1} sera aussi dérivé de l’un des éléments F1F_{1}^{\prime}. Les divers éléments F2F_{2}^{\prime} sont donc dérivés des divers éléments F1F_{1}^{\prime}; de même les éléments F3F_{3}^{\prime} seront dérivés des éléments F2F_{2}^{\prime} etc.

La considération des éléments F1F_{1}^{\prime}, F2F_{2}^{\prime}, F3F_{3}^{\prime} etc., suffit pour obtenir toutes les déterminations de la fonction. Soit en effet AMBAMB un chemin quelconque allant de la valeur initiale A de la variable à la valeur finale B. Il existera un nombre fini d’éléments F0F_{0}, F1F_{1}, F2F_{2}, …, FnF_{n} ayant pour cercle de convergence C0C_{0}, C1C_{1}, …, CnC_{n} et tels que Fi+1F_{i+1} soit dérivé de FiF_{i}, que le point A soit intérieur à C0C_{0} et le point B à CnC_{n} et que l’arc AMBAMB traverse successivement le cercle C0C_{0}, la partie commune à C0C_{0} et C1C_{1}, le cercle C1C_{1}, la partie commune à C1C_{1} et C2C_{2}, etc., sans jamais sortir de l’ensemble des n+1n+1 cercles C0C_{0}, C1C_{1}, …, CnC_{n}. Ce n’est qu’à cette condition que la fonction aura une valeur déterminée au point B quand on sera arrivé en ce point par le chemin AMBAMB.

Nous pourrons alors remplacer F0F_{0}, F1F_{1}, …, FnF_{n} par n+1n+1 éléments F0F_{0}, F1F_{1}^{\prime}, …, FnF_{n}^{\prime} qui en diffèrent assez peu pour que l’arc AMBAMB ne sorte pas de l’ensemble des n+1n+1 nouveaux cercles de convergence C0C_{0}, C1C_{1}^{\prime}, …, CnC_{n}^{\prime}.

La considération de ces éléments FF_{\ell}^{\prime} suffit donc pour faire connaître la valeur qu’acquiert la fonction quand on a parcouru le chemin AMBAMB.   C.Q.F.D

L’ensemble des éléments F1F_{1}^{\prime}, …, FnF_{n}^{\prime} est de la 1re puissance. En effet l’ensemble des éléments F1F_{1}^{\prime} dérivés de F0F_{0} est de la 1re puissance; donc on peut attribuer à chacun d’eux un numéro d’ordre α1\alpha_{1}. L’ensemble des éléments F2F_{2}^{\prime} dérivés de celui des éléments F1F_{1}^{\prime} qui a pour numéro d’ordre α1\alpha_{1} sera encore de la 1re puissance, donc on peut donner à chacun d’eux un numéro d’ordre α2\alpha_{2}, et ainsi de suite. En résumé un élément FnF_{n}^{\prime} sera défini par nn numéros d’ordre:

α1,α2,,αn.\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\mathellipsis,\,\alpha_{n}.

De sorte que l’ensemble des éléments F1F_{1}^{\prime}, F2F_{2}^{\prime}, …, FnF_{n}^{\prime} etc. aura même puissance que l’ensemble des fractions continues limitées:

α1+1α2+1+1αn\alpha_{1}+\cfrac{1}{\alpha_{2}+\cfrac{1}{\ddots+\cfrac{1}{\alpha_{n}}}}

ou que l’ensemble des nombre commensurables lequel est comme on sait de la 1re puissance.  C.Q.F.D

Il suit de là que l’ensemble des déterminations d’une fonction analytique en un point donné est toujours au plus de la 1re puissance.

Il n’existe donc pas, par exemple, de fonction analytique qui prenne en un point donné toutes les valeurs possibles commensurables ou non.

Il ne me reste que la place de vous serrer la main,

Poincaré

ALS 4p. Circolo matematico di Palermo. Lettre publiée dans Poincaré (1888), rééditée par Valiron (1950, 11–13).

Time-stamp: " 5.09.2020 20:21"

Notes

Références