1 H. Poincaré. Sur un point de la théorie de la commutation

[Ca. septembre 1908]

Sur un point de la théorie de la commutation

par H. Poincaré11endnote: 1 Cet article rejoint celui publié dans La Lumière électrique le 6 juin 1908 (Poincaré 1908). La transcription n’a pas été validée par rapport au manuscrit.

On admet généralement que la résistance au contact du balai est en raison inverse de la surface ss de contact de la lame avec le balai. L’équation différentielle qui définit l’intensité se présente alors sous la forme telle que celle-ci.

didt=Ais+B,\frac{di}{dt}=A\frac{i}{s}+B,

AA étant un coefficient constant et BB un ensemble de termes qui si ss est très petit sont négligeables devant le premier. La surface ss est proportionnelle à tt si nous comptons le temps à partir du moment où cette surface s’annule. Nous pouvons donc écrire :

didt=αit+B,\frac{di}{dt}=\alpha\frac{i}{t}+B,

α\alpha étant un autre coefficient constant; on a donc sensiblement :

i=Ctα;didt=Cαtα-1.\begin{array}[]{ll}i=Ct^{\alpha};&\frac{di}{dt}=C\alpha t^{\alpha-1}.\end{array}

Si donc α\alpha est <1<1; di/dtdi/dt et par conséquent la densité du courant devient infinie.

Avant d’adopter définitivement cette conclusion, il convient d’examiner l’hypothèse qui nous a servi de point de départ.22endnote: 2 La suite de la première feuille comporte une liste d’articles de Poincaré, sans rapport avec la théorie de la commutation. Poincaré a dressé cette liste vraisemblablement à l’intention de Gaston Darboux, Secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences, qui a soutenu le candidature de Poincaré au prix Nobel de physique. Il fera une autre liste, plus détaillée, à l’intention de Darboux; voir le manuscrit § 2-62-19.

Soit une série de circuits i1i_{1}, i2i_{2}, …, ini_{n} un circuit fixe jj, HH, E1E_{1}, E2E_{2}, …, EnE_{n} les forces électromagnétiques; SS, R1R_{1}, R2R_{2}, …, RnR_{n} les résistances, TT l’énergie électrodynamique des circuits ii seuls;33endnote: 3 Variante : “les résistances, TT la force l’énergie …”.

T+Lj22+MkikjT+L\frac{j^{2}}{2}+\sum M_{k}i_{k}j

l’énergie électrodynamique totale ; d’où :

Ldjdt+Mkdikdt+ikdMkdt\displaystyle L\frac{dj}{dt}+\sum M_{k}\frac{di_{k}}{dt}+\sum i_{k}\frac{dM_{k% }}{dt} =H-Sj\displaystyle=H-Sj
ddtdTdik+Mkdjdt+jdMkdt\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{dT}{di_{k}}+M_{k}\frac{dj}{dt}+j\frac{dM_{k}}{dt} =Ek-Rkik\displaystyle=E_{k}-R_{k}i_{k} (1)

RkR_{k} et Mk{M}_{k} sont variables (outre bien entendu jj et les iki_{k}) et de telle sorte qu’à la fin d’une période jj, iki_{k}, RkR_{k}, MkM_{k} se soient changés en jj, ik+1i_{k+1}, Rk+1R_{k+1}, Mk+1M_{k+1}.

Calcul dans le cas où deux circuits interviennent seuls.

T=Ni12+i222+μi1i2.T=N\frac{i_{1}^{2}+i_{2}^{2}}{2}+\mu i_{1}i_{2}.

d’où :

Ldjdt+Mkdikdt+ikdMkdt\displaystyle L\frac{dj}{dt}+\sum M_{k}\frac{di_{k}}{dt}+i_{k}\frac{dM_{k}}{dt} =H-Sj\displaystyle=H-Sj
Ndi1dt+μdi2dt+M1djdt+jdM1dt\displaystyle N\frac{di_{1}}{dt}+\mu\frac{di_{2}}{dt}+M_{1}\frac{dj}{dt}+j% \frac{dM_{1}}{dt} =E1-R1i1\displaystyle=E_{1}-R_{1}i_{1} (2)
Ndi2dt+μdi1dt+M2djdt+jdM2dt\displaystyle N\frac{di_{2}}{dt}+\mu\frac{di_{1}}{dt}+M_{2}\frac{dj}{dt}+j% \frac{dM_{2}}{dt} =E2-R2i2\displaystyle=E_{2}-R_{2}i_{2}

Chaque période se divise en deux phases ; dans la 1re phase R2R_{2} et SS sont nuls, R1R_{1} est infini ; dans la 2de phase S=0S=0; R1R_{1} de \infty devient brusquement nul, après un temps très court, R2R_{2} qui était 0 devient brusquement infini.

Dans la 1re phase, on a :

i1=0i_{1}=0

Lj+M2i2\displaystyle Lj+M_{2}i_{2} =Ht+C0\displaystyle=Ht+C_{0}
Ni2+M2j\displaystyle Ni_{2}+M_{2}j =Et+C2(E=E1=E2)\displaystyle=Et+C_{2}\quad(E=E_{1}=E_{2}) (3)

Au début de la 2de phase, on a i1=0i_{1}=0 ; au moment de l’ouverture, les intensités ne subissent que des variations inf. petites ; de même pendant la 2de phase ; puis au moment de la 2de commut[ation]; les 2des membres des deux premières éq. (2) demeurent finis, celui de la 3e devenant \infty; on a donc :

Lj+M1i1+M2i2=const;Ni1+μi2+M1j=const.Lj+M_{1}i_{1}+M_{2}i_{2}=\text{const};\quad Ni_{1}+\mu i_{2}+M_{1}j=\text{% const.}

Formons le tableau suivant :

Valeur de jj i1i_{1} i2i_{2} M1M_{1} M2M_{2}
au début de la 1re phase jj 0 ii ?? MM
à la fin de la 1re phase jj^{\prime} 0 ii^{\prime} MM MM^{\prime}
a la fin de la 2e phase jj ii 0 MM MM^{\prime}

Soit τ\tau la durée de la 1re phase, celle de la 2de étant nulle. Nous avons les 6 équations :

Lj+Mi\displaystyle Lj+Mi =C0;\displaystyle={C}_{0};   Lj+Mi\displaystyle\qquad Lj^{\prime}+M^{\prime}i^{\prime} =Hτ+C0\displaystyle=H\tau+{C}_{0}
Ni+Mj\displaystyle Ni+Mj =C2;\displaystyle={C}_{2};   Ni+Mj\displaystyle\qquad Ni^{\prime}+M^{\prime}j^{\prime} =Eτ+C2\displaystyle=E\tau+{C}_{2}
Lj+Mi\displaystyle Lj^{\prime}+M^{\prime}i^{\prime} =Lj+Mi;\displaystyle=Lj+Mi;   μi+Mj\displaystyle\qquad\mu i^{\prime}+Mj^{\prime} =Ni+Mj\displaystyle=Ni+Mj

Ces équations se réduisent à :

H=0H=0;Lj+Mi=Lj+MiLj^{\prime}+M^{\prime}i^{\prime}=Lj+Mi ; μi=Ni+M(j-j)\mu i^{\prime}=Ni+M(j-j^{\prime})

Ni+Mj=Eτ+Ni+MjNi^{\prime}+M^{\prime}j^{\prime}=E\tau+Ni+Mj (4)

(une inconnue de trop) Cette indétermination est artificielle ; elle tiens à ce que nous avons supposé les résistances nulles et non très petites ; et en particulier S=0S=0. On a effectivement S=H=0S=H=0 si l’excitation se fait par un aimant permanent, dans ce cas l’indétermination est réelle et il faut pour la lever, se donner la valeur de l’aimant permanent. Si l’excitation se fait par un courant, on n’aura plus H=0H=0 mais H=H= valeur moyenne de SjSj ; comme HH et SS sont connus, cela donne la valeur moyenne de jj ce qui lève l’indétermination.

Quelle est la perte d’énergie par étincelle ; on a au début de la seconde phase :

2T=j(Lj+M1i1+M2i2)+i1(Ni1+μ2+M1j)+i2(Ni2+μi1+M2j)\mathrm{2T}=j(Lj+M_{1}i_{1}+M_{2}i_{2})+i_{1}(Ni_{1}+{\mu}_{2}+M_{1}j)+i_{2}(% Ni_{2}+\mu i_{1}+M_{2}j)ce que je puis écrire ; encore en posant :

Lj+M1i1+M2i2=uLj+M_{1}i_{1}+M_{2}i_{2}=u

Ni1+μi2+M1j=vNi_{1}+\mu i_{2}+M_{1}j=v

N1=N-M12L{N}_{1}=N-\frac{M_{1}^{2}}{L}, N2=N-M22L{N}_{2}=N-\frac{M_{2}^{2}}{L}

μ=μ-M1M2L\mu^{\prime}=\mu-\frac{M_{1}M_{2}}{L}

T=u22L+N1i122+N2i222+μi1i2T=\frac{{u}^{2}}{\mathrm{2L}}+{N}_{1}\frac{i_{1}^{2}}{2}+{N}_{2}\frac{i_{2}^{2% }}{2}+\mu^{\prime}i_{1}i_{2}

v=uLM1+N1i1+μi2v=\frac{u}{L}M_{1}+{N}_{1}i_{1}+\mu^{\prime}i_{2}; T=u22L+12N1(v-uM1L)2+Ki22T=\frac{{u}^{2}}{\mathrm{2L}}+\frac{1}{{\mathrm{2N}}_{1}}{(v-\frac{{uM}_{1}}{L% })}^{2}+K\frac{i^{2}}{2}

où :

K=N-M2L-μ2N1=LN2-NM12-μ2L-M22N+2μM1M2LN-M12K=N-\frac{M_{2}}{L}-\frac{\mu{{}^{\prime}}^{2}}{{N}_{1}}=\frac{L{N}^{2}-{NM}_{% 1}^{2}-{\mu}^{2}L-M_{2}^{2}N+2\mu M_{1}M_{2}}{LN-M_{1}^{2}}

La perte est donc Ki22\frac{Ki{{}^{\prime}}^{2}}{2} ; elle est nulle si le discriminant :

Nous [illisible], des éq. ci-dessus, (4)

Eτ=(N-μ)i+(M-M)jE\tau=(N-\mu)i^{\prime}+(M^{\prime}-M)j^{\prime}

et si le discriminant est nul :

L(j-j)-Mi+Mi\displaystyle L(j^{\prime}-j)-Mi+M^{\prime}i^{\prime} =0\displaystyle=0 (1)
M(j-j)-Ni+μi\displaystyle M(j^{\prime}-j)-Ni+\mu i^{\prime} =0\displaystyle=0 (2)
M(j-j)+Ni-μi\displaystyle M^{\prime}(j^{\prime}-j)+Ni^{\prime}-\mu i =0\displaystyle=0 (5)

d’où:

(M-M)(j-j)=(N-μ)(i+i)(M^{\prime}-M)(j^{\prime}-j)=(N-\mu)(i+i^{\prime})

(M+M)(j-j)=(N+μ)(i-i)(M^{\prime}+M)(j^{\prime}-j)=(N+\mu)(i^{\prime}-i)

d’où :

i-ii+i=M+MM-MN-μN+μ\frac{i^{\prime}-i}{i^{\prime}+i}=\frac{M^{\prime}+M}{M^{\prime}-M}\frac{N-\mu% }{N+\mu}

Schéma d’une connexion plus complexe.

[figure]

i=α+β=α+β=a+ci=\alpha+\beta=\alpha^{\prime}+\beta^{\prime}=a+c

α=a-b\alpha=a-b; β=c+b\beta=c+b

α=a+b\alpha^{\prime}=a+b^{\prime} ; β=c-b\beta^{\prime}=c-b^{\prime}

Soit les circuits iαabβii\alpha^{\prime}ab\beta i ; iαbcβii\alpha^{\prime}b^{\prime}c\beta i ; iβ-baαii\beta^{\prime}-b^{\prime}a\alpha i ; iβc-bαii\beta^{\prime}c-b\alpha i ; abc-babc-b^{\prime}que j’appellerai i1,i2,i3,i4,i5i_{1},i_{2},i_{3},i_{4},i_{5} ; -αbβ=i6-\alpha b\beta=i_{6} ; αb-β=i7\alpha^{\prime}b-\beta^{\prime}=i_{7}

on aura :

i=i1+i2+i3+i4i=i_{1}+i_{2}+i_{3}+i_{4}; α=i1+i2+i7\alpha^{\prime}=i_{1}+i_{2}+i_{7} ; β=i1+i2+i6\beta=i_{1}+i_{2}+i_{6}

a=i1+i3+i5a=i_{1}+i_{3}+i_{5}; c=i1+i2-i5c=i_{1}+i_{2}-i_{5} ; α=i3+i4-i6\alpha=i_{3}+i_{4}-i_{6} ; β=i3+i4-i7\beta^{\prime}=i_{3}+i_{4}-i_{7}

b=i1-i4+i5+i6b=i_{1}-i_{4}+i_{5}+i_{6}; b=i2-i3-i5+i7b^{\prime}=i_{2}-i_{3}-i_{5}+i_{7}

Par symétrie on aura en [illisible]

a=ca=c; α=β\alpha=\beta^{\prime} ; α=β\alpha^{\prime}=\beta ; b=bb=b^{\prime} ; de sorte qu’il suffit d’envisager deux circuits i1i_{1}et i2i_{2} ; avec :

i=2i1+2i2i={\mathrm{2i}}_{1}+{\mathrm{2i}}_{2}; a=c=i1+i2a=c=i_{1}+i_{2} ; α=β=2i1\alpha=\beta^{\prime}={\mathrm{2i}}_{1} ; α=β=2i2\alpha^{\prime}=\beta={\mathrm{2i}}_{2}

b=b=i1-i2b=b^{\prime}=i_{1}-i_{2}

On est ainsi amené au cas précédent.

Revenons aux équations (2) et [illisible] supposons plus que R2{R}_{2}passe brusquement de 0à \infty, mais soit, en appelant 0[illisible] du changement

R2=At+fini{R}_{2}=\frac{A}{t}+fini

Alors, les conditions dépendent de :

Ldjdt+M1di1dt+M2di2dt=0L\frac{dj}{dt}+M_{1}\frac{{di}_{1}}{dt}+M_{2}\frac{{di}_{2}}{dt}=0

M1djdt+Ndi1dt+μdi2dt=0M_{1}\frac{dj}{dt}+N\frac{{di}_{1}}{dt}+\mu\frac{{di}_{2}}{dt}=0

M2djdt+μdi1dt+Ndi2dt=-Ai2tM_{2}\frac{dj}{dt}+\mu\frac{{di}_{1}}{dt}+N\frac{{di}_{2}}{dt}=\frac{-Ai_{2}}{t}

d’où : j=αtλj=\alpha{t}^{\lambda}, i1=βtλi_{1}=\beta{t}^{\lambda}, i2=γtλi_{2}=\gamma{t}^{\lambda}avec :

Lα+M1β+M2γ=M1α+Nβ+μγ=0L\alpha+M_{1}\beta+M_{2}\gamma=M_{1}\alpha+N\beta+\mu\gamma=0

M2α+μβ+Nγ=-AγλM_{2}\alpha+\mu\beta+N\gamma=\frac{-A\gamma}{\lambda}

Si λ<1\lambda<1, étincelles, si λ>1\lambda>1, chercher des [illisible] en tt dans i2i_{2}. Si le discriminant était nul, on aurait λ=\lambda=\infty ou γ=0\gamma=0 ?

Si λ>1\lambda>1, on aura les valeurs de di2dt\frac{{di}_{2}}{dt}, etc, i2=0i_{2}=0, iiet i1i_{1}au moment de [illisible] ; à l’aide de :

Ldjdt+M1di1dt+M2di2dt+i1dM1dt=H-SjL\frac{dj}{dt}+M_{1}\frac{{di}_{1}}{dt}+M_{2}\frac{{di}_{2}}{dt}+i_{1}\frac{{% dM}_{1}}{dt}=H-Sj

(7) Ndi1dt+μdi2dt+M1djdt+jdM1dt=E1-R1i1N\frac{{di}_{1}}{dt}+\mu\frac{{di}_{2}}{dt}+M_{1}\frac{dj}{dt}+j\frac{{dM}_{1}% }{dt}={E}_{1}-{R}_{1}i_{1}

Ndi2dt+μdi1dt+M2djdt+jdM2dt=E2-Adi2dtN\frac{{di}_{2}}{dt}+\mu\frac{{di}_{1}}{dt}+M_{2}\frac{dj}{dt}+j\frac{{dM}_{2}% }{dt}={E}_{2}-A\frac{{di}_{2}}{dt}

Pour [illisible] parf. il faudrait di2dt=0\frac{{di}_{2}}{dt}=0.

Reprenons les éq. (2) et soit M1M_{1}[illisible] de M2M_{2}, NNde μ\mu, jjet i1+i2=ii_{1}+i_{2}=isensiblement constants E1=E2{E}_{1}={E}_{2}.

On aura : en première approx. (en négligeant M1-M2M_{1}-M_{2}, N-μN-\mu, djdt\frac{dj}{dt}, didt\frac{di}{dt})

idM1dt=H+Sji\frac{{dM}_{1}}{dt}=H+Sj

(8) jdM1dt=E-R1i1=E-R2i2=Eρj\frac{{dM}_{1}}{dt}=E-{R}_{1}i_{1}=E-{R}_{2}i_{2}=E\rho

ρ\rhoest calculé de telle façon que (dans ces conditions ρ\rhoest constant)

ρ(i1+i2)=R1i1=R2i2\rho(i_{1}+i_{2})={R}_{1}i_{1}={R}_{2}i_{2}(dM1dt\frac{{dM}_{1}}{dt}est regardé comme constant)

Les valeurs de i,ji,jtirées de (8) sont regardées comme des constantes ; soient i+δii+\delta i ; j+δjj+\delta j, etc les valeurs exactes, i1+δi1,i2+δi2i_{1}+\delta i_{\mathrm{1,}}i_{2}+\delta i_{2}etc. On aura δi=δi1+δi2\delta i=\delta i_{1}+\delta i_{2}et en seconde approx.

Ldδjdt+M1dδidt+(M2-M1)di2dt+dM1dtδi+i2ddt(M2-M1)=-SδjL\frac{d\delta j}{dt}+M_{1}\frac{d\delta i}{dt}+(M_{2}-M_{1})\frac{{di}_{2}}{% dt}+\frac{{dM}_{1}}{dt}\delta i+i_{2}\frac{d}{dt}(M_{2}-M_{1})=-S\delta j

Ndδidt+(μ-N)di2dt+M1dδjdt+δjdM1dt=-R1δi1N\frac{d\delta i}{dt}+(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}+% \delta j\frac{{dM}_{1}}{dt}=-{R}_{1}\delta i_{1}
Ndδidt+(μ-N)di1dt+M1dδjdt+δjdM1dt+jddt(M2-M1)=-R2δi2N\frac{d\delta i}{dt}+(\mu-N)\frac{{di}_{1}}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}+% \delta j\frac{{dM}_{1}}{dt}+j\frac{d}{dt}(M_{2}-M_{1})=-{R}_{2}\delta i_{2}

Si nous regardons dM1dt\frac{{dM}_{1}}{dt}comme constant, nous pouvons négliger ddt(M2-M1)\frac{d}{dt}(M_{2}-M_{1}).

Alors 1R1=i1ρi\frac{1}{{R}_{1}}=\frac{i_{1}}{\rho i}et 1R2=i2ρi\frac{1}{{R}_{2}}=\frac{i_{2}}{\rho i}varient prop. au temps et il reste :

(μ-N)di2dt+R1δi1=(μ-N)di1dt+R1δi2(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}+{R}_{1}\delta i_{1}=(\mu-N)\frac{{di}_{1}}{dt}+{R}_% {1}\delta i_{2}

(μ-N)di1dt(\mu-N)\frac{{di}_{1}}{dt}et (μ-N)di2dt(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}

sont des constantes égales et de signe contraire, et comme d’autre part δi1+δi2=δi\delta i_{1}+\delta i_{2}=\delta i ; en posant (μ-N)di2dt=K(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}=K il vient :

R1δi2-R2δi2=-2K{R}_{1}\delta i_{2}-{R}_{2}\delta i_{2}=-\mathrm{2K}

δi1+δi2=δi\delta i_{1}+\delta i_{2}=\delta i

(R1+R2)δi1=R2δi-2K({R}_{1}+{R}_{2})\delta i_{1}={R}_{2}\delta i-\mathrm{2K}

R1δi1+K=R1R2R1+R2δi-2KR1R1+R2+K=ρδi+KR2-R1R2+R1{R}_{1}\delta i_{1}+K=\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}\delta i-\frac{{% \mathrm{2KR}}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}+K=\rho\delta i+K\frac{{R}_{2}-{R}_{1}}{{R}% _{2}+{R}_{1}}

Nous remarquons que R2-R1R2+R1\frac{{R}_{2}-{R}_{1}}{{R}_{2}+{R}_{1}}est une fonc. [illisible] au temps et variant de -1 à +1 pendant une période ; nous l’appellerons ϕ\phi, il reste :

Ldδjdt+M1dδidt+Sδj+dM1dtδi=(M1-M2)di2dtL\frac{d\delta j}{dt}+M_{1}\frac{d\delta i}{dt}+S\delta j+\frac{{dM}_{1}}{dt}% \delta i=(M_{1}-M_{2})\frac{{di}_{2}}{dt}

Ndδidt+M1dδjdt+ρδi+dM1dtδj=-KϕN\frac{d\delta i}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}+\rho\delta i+\frac{{dM}_{1}}{% dt}\delta j=-K\phi

Pour achever de définir δi\delta iet δj\delta j, il faut se donner les conditions, aux limites, qui sont que δi\delta iet δj\delta j[illisible] la [illisible] valeur à la fin de la période. A la fin de la période on doit avoir R2={R}_{2}=\infty, δi2=0\delta i_{2}=0et au commencement R1={R}_{1}=\infty, δi1=0\delta i_{1}=0, $$.

Soit alors (M1-M2)di2dt=A(M_{1}-M_{2})\frac{{di}_{2}}{dt}=A, ϕ=+tτ\phi=\frac{+t}{\tau}, la période durant de -τ-\tauà τ\tau, dM1dt=M1\frac{{dM}_{1}}{dt}=M{{}^{\prime}}_{1}, les éq. 10 prennent la forme :

Ldδjdt+M1dδidt+Sδj+Mδ1i=δAL\frac{d\delta j}{dt}+M_{1}\frac{d\delta i}{dt}+S\delta j+M{{}^{\prime}}_{1}% \delta i=\delta A

(11) Ndδidt+M1dδjdt+ρδi+Mδ1j=-KtτN\frac{d\delta i}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}+\rho\delta i+M{{}^{\prime}}_{1% }\delta j=\frac{-Kt}{\tau}

On y satisfait en faisant : iiou jj : un polynôme de premier degré en t, plus deux exponentielles à coefficient arbitraire.

On écrit que les valeurs sont les mêmes pour t=±τt=\pm\tau.

Pour [illisible] la commutation, il faut calculer ddt(i2+δi2)\frac{d}{dt}(i_{2}+\delta i_{2})pour t=τt=\tau. Or di2dt\frac{{di}_{2}}{dt}est égal à -i2τ\frac{-i}{2\tau}puisque i2i_{2}varie proportionnellement au temps depuis ii(sl) jusqu’à zéro. Il faudrait calculer dδi2dt\frac{d\delta i_{2}}{dt}. Mais auparavant, comme di2dt\frac{{di}_{2}}{dt}est de l’ordre de 1τ\frac{1}{\tau}il faut [illisible] ce qui précède ; M2-M1M_{2}-M_{1}est de l’ordre de τ\tauet μ-N\mu-Nde l’ordre de τ2{\tau}_{2}. Nous avons toujours R1i1=R2i2=ρi{R}_{1}i_{1}={R}_{2}i_{2}=\rho i ; de telle sorte que i1i\frac{i_{1}}{i}et i2i\frac{i_{2}}{i}varient de 0 à 1et de 1 à 0 ; que di2dt=-di1dt=-i2τ\frac{{di}_{2}}{dt}=\frac{-{di}_{1}}{dt}=\frac{-i}{2\tau} ; on aura donc AAqui sera fini, et on aura

-A+iM=1H-Sj-A+iM{{}^{\prime}}_{1}=H-Sj

Or, A=(M1-M2)di2dt=(-2Mτ1)(-i2τ)=iM1A=(M_{1}-M_{2})\frac{{di}_{2}}{dt}=(-\mathrm{2M}{{}^{\prime}}_{1}\tau)(\frac{-% i}{2\tau})=iM{{}^{\prime}}_{1}car M2-M1=2Mτ1M_{2}-M_{1}=2M{{}^{\prime}}_{1}\tau

Il reste donc H=SjH=Sj

Pour la première éq. (8) avec jM=1E-ρijM{{}^{\prime}}_{1}=E-\rho ipour la seconde.

Transformons [illisible] les éq. (9) : elles [illisible] (M2-M1)di2dt(M_{2}-M_{1})\frac{{di}_{2}}{dt} a déjà figuré dans (8) :

Ldδjdt+M1dδidt+(M2-M1)dδi2dt+Mδ1i=-SδjL\frac{d\delta j}{dt}+M_{1}\frac{d\delta i}{dt}+(M_{2}-M_{1})\frac{d\delta i_{% 2}}{dt}+M{{}^{\prime}}_{1}\delta i=-S\delta j

(9bis) Ndδidt+(μ-N)di2dt+M1dδjdt+Mδ1j=-R1δi1N\frac{d\delta i}{dt}+(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}+M{{% }^{\prime}}_{1}\delta j=-{R}_{1}\delta i_{1}

et rien à changer sauf (M2-M1)dδi2dt(M_{2}-M_{1})\frac{d\delta i_{2}}{dt} au lieu de (M2-M1)di2dt(M_{2}-M_{1})\frac{{di}_{2}}{dt}, c’est pourquoi je mets δA\delta A au lieu de AA dans la 1re éq. (11) parce que dδi2dt,dδi1dt\frac{d\delta i_{2}}{dt},\frac{d\delta i_{1}}{dt} peuvent être finis.

Nouvelles modifications ; ddt(M2-M1)\frac{d}{dt}(M_{2}-M_{1})n’est plus nul, mais de l’ordre de τ\tau ; [illisible] la résistance R de la partie commune du circuit, R1etR2{R}_{1}et{R}_{2} étant celle du [illisible]. ; on a toujours 1R1+1R2=1ρ\frac{1}{{R}_{1}}+\frac{1}{{R}_{2}}=\frac{1}{\rho}, ρ\rhoest de l’ordre de τ\tauet R fini ; on remplace E1etE2{E}_{1}et{E}_{2}par E-RiE-Ri.

On trouve alors en première approx.

H=SjH=Sj

(12) jM=1E-RijM{{}^{\prime}}_{1}=E-Ri

et en l’approx :

Ldδjdt+M1dδidt+(M2-M1)di2dt+(i+δi)M+1i2(M-2M)1=-SδjL\frac{d\delta j}{dt}+M_{1}\frac{d\delta i}{dt}+(M_{2}-M_{1})\frac{{di}_{2}}{% dt}+(i+\delta i)M{{}^{\prime}}_{1}+i_{2}(M{{}^{\prime}}_{2}-M{{}^{\prime}}_{1}% )=-S\delta j

Ndδidt+(μ-N)di2dt+M1dδjdt+δjM=1-Rδi-R1i1N\frac{d\delta i}{dt}+(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}+% \delta jM{{}^{\prime}}_{1}=-R\delta i-{R}_{1}i_{1}

μdδidt+(N-μ)di2dt+M2dδjdt+δjM=2-Rδi-R2i2\mu\frac{d\delta i}{dt}+(N-\mu)\frac{{di}_{2}}{dt}+M_{2}\frac{d\delta j}{dt}+% \delta jM{{}^{\prime}}_{2}=-R\delta i-{R}_{2}i_{2}

Ordre de 1τ\frac{1}{\tau}

fini M1,M2,MM1,L2,,N,μ,RM_{\mathrm{1,}}M_{\mathrm{2,}}M{{}^{\prime}}_{\mathrm{1,}}M{{}^{\prime}}_{% \mathrm{2,}}L,N,\mu,R

ordre de τ\tau(M2-M1),(M-2M)1(M_{2}-M_{1}),(M{{}^{\prime}}_{2}-M{{}^{\prime}}_{1}), R1,R2{R}_{\mathrm{1,}}{R}_{2}en gén., ρ\rho

ordre de τ2{\tau}^{2} N-μN-\mu

1τ\frac{1}{\tau}; di1dt,di2dt\frac{{di}_{1}}{dt},\frac{{di}_{2}}{dt}

$$

; i,j,i1,i2i,j,i_{\mathrm{1,}}i_{2}

τ\tau; dδidt,dδjdt\frac{d\delta i}{dt},\frac{d\delta j}{dt}

τ2{\tau}^{2}; δi,δj\delta i,\delta j

En admettant ces hypothèses on aura :

(M2-M1)di2dt+iM=1A(M_{2}-M_{1})\frac{{di}_{2}}{dt}+iM{{}^{\prime}}_{1}=Ade l’ordre deτ\tau

Ldδjdt+M1dδidt+A+i2(M-2M)1=0L\frac{d\delta j}{dt}+M_{1}\frac{d\delta i}{dt}+A+i_{2}(M{{}^{\prime}}_{2}-M{{% }^{\prime}}_{1})=0

Ndδidt+(μ-N)di2dt+M1dδjdt=-R1i1N\frac{d\delta i}{dt}+(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}=-{R% }_{1}i_{1}

Cela ne va pas encore, soit :

T=Lj22+M1ij+(M2-M1)i2j+Ni22+(μ-N)[ii2-i22]T=L\frac{{j}^{2}}{2}+M_{1}ij+(M_{2}-M_{1})i_{2}j+\frac{Ni^{2}}{2}+(\mu-N)[ii_{% 2}-i_{2}^{2}]

U=Sj22+Ri22+R1i122+R2i22=Sj22+Ri22+R1(i-i2)22+R2i222U=S\frac{{j}^{2}}{2}+R\frac{i^{2}}{2}+{R}_{1}\frac{i_{1}^{2}}{2}+{R}_{2}i_{2}^% {2}=S\frac{{j}^{2}}{2}+R\frac{i^{2}}{2}+{R}_{1}\frac{{(i-i_{2})}^{2}}{2}+{R}_{% 2}\frac{i_{2}^{2}}{2}

V=Hj+EiV=Hj+Ei, d’où :

ddtdTdj=dVdj-dUdj\frac{d}{dt}\frac{dT}{dj}=\frac{dV}{dj}-\frac{dU}{dj}; de même en remplaçant jjpar iiou i2i_{2}.

Pour les dérivées par rapport à iiet à jj, négligeons

Prenons l’excitation en série pour plus de simplicité, de sorte que i=j=i1+i2i=j=i_{1}+i_{2}.

On a alors T=Li22+Mij+Nj22T=L\frac{i^{2}}{2}+Mij+N\frac{{j}^{2}}{2} ; V=EiV=Ei ; 2V=Ri2+R1(i-j)2+R2j2\mathrm{2V}=Ri^{2}+{R}_{1}{(i-j)}^{2}+{R}_{2}{j}^{2}

ii est [1 mot illisible] pour i=j=i1+i2i=j=i_{1}+i_{2}, jjpour i2i_{2} ; LLpour L+2M1+NL+{\mathrm{2M}}_{1}+N ; MMpour M2-M1+μ-NM_{2}-M_{1}+\mu-N ; NN pour N-μN-\mu ; MMest du premier ordre, NNest du second :

Les éq. deviennent

ddt(Li+Mj)=E-Ri-R1(i-j)\frac{d}{dt}(Li+Mj)=E-Ri-{R}_{1}(i-j)

ddt(Mi+Nj)=+R1(i-j)-R2j\frac{d}{dt}(Mi+Nj)=+{R}_{1}(i-j)-{R}_{2}j

Première approx : Li=E-RiL^{\prime}i=E-Ri

Deuxième approx : (Li+Mj)+Lδi+Mj=-Rδi-R1(i+δi-j)(Li^{\prime}+Mj^{\prime})+L^{\prime}\delta i+M^{\prime}j=-R\delta i-{R}_{1}(i+% \delta i-j)

Mi+M(i+δi)+Nj=R1(i+δi-j)-R2jMi^{\prime}+M^{\prime}(i+\delta i)+Nj^{\prime}={R}_{1}(i+\delta i-j)-{R}_{2}j

Soit i,δi,j,ji^{\prime},\delta i,j^{\prime},jd’ordre 0,1,-1,0\mathrm{0,}\mathrm{1,}-\mathrm{1,}0 ; alors Li+MjLi^{\prime}+Mj^{\prime}sont d’ordre zéro.

Lδi+Mj,Rδi,R1i1L^{\prime}\delta i+M^{\prime}j,R\delta i,{R}_{1}i_{1}d’ordre 1;Mi;1;Mi;1;Nj1;R1i11;R1δi;2;R2j11;Mi^{\prime};1;M^{\prime}i;1;Nj^{\prime}1;{R}_{1}i_{1}1;{R}_{1}\delta i;2;{R}% _{2}j1, ce qui donne en conservant les termes d’ordre 0 et 1 [illisible] dans la première et la seconde éq :

Li+Mj=0Li^{\prime}+Mj^{\prime}=0

Mi+Mi+Nj=R(i-j)-R2jMi^{\prime}+M^{\prime}i+Nj^{\prime}={R}(i-j)-{R}_{2}j

Conditions aux limites : on doit avoir iimême valeur à la fin et en [illisible] de la période :

$$

; i=ji=jpour t=0t=0 ; l’intégrale générale donnant j=j=\inftyet et on a de soi-même j=0j=0pour t=τt=\tau ; parce que R2={R}_{2}=\inftypour t=τt=\tau.

On peut supposer aussi δi=2+δi\delta i=2+\delta^{\prime}i, ϵ\epsilonétant une contrainte finie et, δi\delta^{\prime}iétant d’ordre 1, ce qui donne :

Li+Mj=(-R-L)ϵLi^{\prime}+Mj^{\prime}=(-R-L^{\prime})\epsilon

et déterminer ϵ\epsilonpar la seconde condition ; l’élimin. de [illisible] donne en effet :

(N-M2L)j+M(i+ϵ)-(R+L)ϵML=R1(i+ϵ)-(R1+R2)j(N-\frac{M^{2}}{L})j^{\prime}+M^{\prime}(i+\epsilon)-(R+L^{\prime})\epsilon% \frac{M}{L}={R}_{1}(i+\epsilon)-({R}_{1}+{R}_{2})j

Cette équation admet une seule racine non infinie pour t=0t=0, cette racine dépends naturellement de ϵ\epsilon, et il faut choisir ϵ\epsilonde telle sorte que $$ ; la racine non infinie est telle que j=i+ϵj=i+\epsilonpour t=0t=0, R1={R}_{1}=\infty.

Si il y a excitation par [illisible], ou plus généralement, on aura les courants principaux i etc. et le courant de [illisible] que nous appelions d’abord i2i_{2}et ensuite jj ; et on aura :

T=T0+jT1+Nj22T={T}_{0}+{jT}_{1}+\frac{{Nj}^{2}}{2}; T1{T}_{1}du premier ordre, NNdu second, U=U0+R1(i-j)22+R2j22U={U}_{0}+{R}_{1}\frac{{(i-j)}^{2}}{2}+{R}_{2}\frac{{j}^{2}}{2}

T0,U0{T}_{\mathrm{0,}}{U}_{0}et VV dépendent seulement des courants principaux i,iα,iβi,i_{\alpha},i_{\beta}etc….

V=Ei+Eαialpha+V=Ei+{E}_{\alpha}i_{alpha}+\mathrm{...}et en première approx :

ddt(dT0diα)+dT1diαj=Eα-dU0diα\frac{d}{dt}(\frac{{dT}_{0}}{{di}_{\alpha}})+\frac{{dT}_{1}}{{di}_{\alpha}}j^{% \prime}={E}_{\alpha}-\frac{{dU}_{0}}{{di}_{\alpha}}(iiest l’un des iαi_{\alpha})

Nj+dT1dt=R1i-(R1+R2)jNj^{\prime}+\frac{{dT}_{1}}{dt}={R}_{1}i-({R}_{1}+{R}_{2})j

On regarde jj, les ii, les ii^{\prime}comme finis, jj^{\prime}d’ordre -1, les iicomme constants.

Si on suppose un instant que les ii sont des constantes données, on a une seule racine qui reste finie pour t=0t=0 ; on choisit ensuite les constantes ii telles que $$.

Roue de Barlow. Continu ; i=f(x,t)i=f(x,t), jjcourant excit. ; -x=αt+const-x=\alpha t+const

T=Jj22+jiM𝑑x+Nii𝑑x𝑑xT=J\frac{{j}^{2}}{2}+j\int iMdx+\iint Nii^{\prime}dxdx^{\prime}; U=Sj22+Ri22𝑑xU=S\frac{{j}^{2}}{2}+\int\frac{{Ri}^{2}}{2}dx

V=Hj+Ei𝑑xV=Hj+E\int idx; R,M=foncdexR,M=foncdex, N=foncde(x-x)2N=foncde{(x-x^{\prime})}^{2}

d’où pour les éq :

Ldjdt+Mdidt𝑑x=H-SjL\frac{dj}{dt}+\int M\frac{di}{dt}dx=H-Sj

Mdjdt+jQdMdx=E-RiM\frac{dj}{dt}+jQ\frac{dM}{dx}=E-Ri

et pour le régime permanent :

H=SjH=Sj, jαdMdx=E-Rij\alpha\frac{dM}{dx}=E-Ri

Si i𝑑x=I\int idx=I, dMdx𝑑x=δM\int\frac{dM}{dx}dx=\delta M ; dMdxdxR=Aρ\int\frac{dM}{dx}\frac{dx}{R}=\frac{A}{\rho} ; dxR=1ρ\int\frac{dx}{R}=\frac{1}{\rho}

H=SjH=Sj; jαAρ=Eρ-Ij\alpha\frac{A}{\rho}=\frac{E}{\rho}-I

ou pour l’exc série ; où I=jI=jet H+EH+Edonne :

(S+ρ)j=H+E-jαA(S+\rho)j=H+E-j\alpha A

Cas général: Considérons ECDF l’anneau, en BC et BD deux connexions, en B un [illisible]. Nous choisissons comme variables les courants suivants :

[figure]

1° Ceux qui subsisteraient si on coupait toutes les communications BC, BD etc ; soient j1,j2,jk{j}_{\mathrm{1,}}{j}_{\mathrm{2,}}\mathrm{...}{j}_{k}ces courants, ce [illisible] par exemple le courant d’excitation, dans le cas de l’exc. [illisible] ou séparée ; il y aurait ainsi un courant qui suivrait l’induit d’un font à l’autre, mais qui est nul en général.

2° Si on rétablit [illisible] des communications BC, BD, on aura un courant i1(k)i_{1}^{(k)} par BC et i2(k)i_{2}^{(k)}par BD, la somme i1(k)+i2(k)i_{1}^{(k)}+i_{2}^{(k)}constituera un courant que j’appellerai iki_{k}.

3° Nous aurons ensuite un courant de court circuit BDCB, que j’appellerai yk{y}_{k}et que je choisirai de telle sorte que i2(k)=yki_{2}^{(k)}={y}_{k}, i1(k)=ik-yki_{1}^{(k)}=i_{k}-{y}_{k}.

Cela posé, nous aurons :

T=T0+Jkyk+12Nkyk22T={T}_{0}+\sum{J}_{k}{y}_{k}+\frac{1}{2}\sum{N}_{k}\frac{{y}_{k}^{2}}{2}, où T0{T}_{0}et Jk{J}_{k}dépendent seulement des j et ii, où T0{T}_{0}est fini, Jk{J}_{k}est du premier ordre, Nk{N}_{k}du second ordre.

U=Skjk22+Rkik22+12R1(k)(ik-yk)2+12R2(k)yk2U=\sum{S}_{k}\frac{{j}_{k}^{2}}{2}+\sum{R}_{k}\frac{i_{k}^{2}}{2}+\frac{1}{2}% \sum{R}_{1}^{(k)}{(i_{k}-{y}_{k})}^{2}+\frac{1}{2}\sum{R}_{2}^{(k)}{y}_{k}^{2}Sk{S}_{k} et Rk{R}_{k} sont finis, R1(k){R}_{1}^{(k)} et R2(k)R_{2}^{(k)} du premier ordre.

V=Hkjk+Ekik.V=\sum{H}_{k}{j}_{k}+\sum{E}_{k}i_{\mathit{k.}}

Soient T00{T}_{0}^{0}et T0τ{T}_{0}^{\tau}les valeurs de T0{T}_{0}au [illisible] et à la fin d’une période. Au commencement on a yk=ik{y}_{k}=i_{k}et à la fin yk=0{y}_{k}=0 ; néanmoins la valeur de TTne doit pas avoir changé, su moins si les iiet les jjn’ont mas changé, on a donc (au second ordre près) :

T0τ=T00+Jkik{T}_{0}^{\tau}={T}_{0}^{0}+\sum{J}_{k}i_{k}

Cela posé, nous avons les équations suivantes :

ddtdTdα=dVdα-dUdα\frac{d}{dt}\frac{dT}{d\alpha}=\frac{dV}{d\alpha}-\frac{dU}{d\alpha}; α=jk,ik,yk\alpha={j}_{k},i_{k},{y}_{k}

et tout d’abord, au premier ordre près :

ddtdTdjk=Hk-Skjk\frac{d}{dt}\frac{dT}{{dj}_{k}}={H}_{k}-{S}_{k}{j}_{k}; ddtdTdik=Ek-Rkik\frac{d}{dt}\frac{dT}{{di}_{k}}={E}_{k}-{R}_{k}i_{k}

Dans le cas des courants continus, Hk,Ek{H}_{k},{E}_{k}sont des constantes, ik,jki_{k},{j}_{k}aussi au premier ordre près, i,kjki{{}^{\prime}}_{k},j{{}^{\prime}}_{k}étant cependant finis ; iketjki_{k}et{j}_{k}doivent prendre la même valeur au commencement et à la fin ; d’où ; au second ordre près :

dT1τdjk-dT10djk=τ(Hk-Skjk);dT1τdik-dT10dik=τ(Ek-Rkik)\frac{{dT}_{1}^{\tau}}{{dj}_{k}}-\frac{{dT}_{1}^{0}}{{dj}_{k}}=\tau({H}_{k}-{S% }_{k}{j}_{k});\frac{{dT}_{1}^{\tau}}{{di}_{k}}-\frac{{dT}_{1}^{0}}{{di}_{k}}=% \tau({E}_{k}-{R}_{k}i_{k})

Or dTdjk=dT0djk+ykdJkdjk;dTdik=dT0dik+ykdJkdik\frac{dT}{{dj}_{k}}=\frac{{dT}_{0}}{{dj}_{k}}+\sum{y}_{k}\frac{{dJ}_{k}}{{dj}_% {k}};\frac{dT}{{di}_{k}}=\frac{{dT}_{0}}{{di}_{k}}+\sum{y}_{k}\frac{{dJ}_{k}}{% {di}_{k}}

Pour t=0t=0 ; on a :

dT0djk=dT00djk+ikdJkdjk;dT0dik+ikdJkdik\frac{{dT}^{0}}{{dj}_{k}}=\frac{{dT}_{0}^{0}}{{dj}_{k}}+\sum i_{k}\frac{{dJ}_{% k}}{{dj}_{k}};\frac{{dT}^{0}}{{di}_{k}}+\sum i_{k}\frac{{dJ}_{k}}{{di}_{k}}

Pour t=τt=\tau :

dTτdjk=dT0τdjk=dT0djk+ikdJkdjk;dTτdik=dT0τdik=dT00dik+ikdJkdik+Jk\frac{{dT}^{\tau}}{{dj}_{k}}=\frac{{dT}_{0}^{\tau}}{{dj}_{k}}=\frac{{dT}^{0}}{% {dj}_{k}}+\sum i_{k}\frac{{dJ}_{k}}{{dj}_{k}};\frac{{dT}^{\tau}}{{di}_{k}}=% \frac{{dT}_{0}^{\tau}}{{di}_{k}}=\frac{{dT}_{0}^{0}}{{di}_{k}}+\sum i_{k}\frac% {{dJ}_{k}}{{di}_{k}}+{J}_{k}

d’où finalement :

Hk=Skjk{H}_{k}={S}_{k}{j}_{k}; Ek=Rkik+Jkτ{E}_{k}={R}_{k}i_{k}+\frac{{J}_{k}}{\tau}

Pour le cas des courants alt. Hk,Ek{H}_{k},{E}_{k}Sont prop. à eωτ{\mathrm{e}}^{\omega\tau}, ω\omegaimaginaire et il en est de même pour i,ji,jau premier ordre près, il résulte de là que dT00dα\frac{{dT}_{0}^{0}}{d\alpha}n’a pas la même valeur que t=0t=0et pour t=τt=\tau, mais est multiplié par eωt{e}^{\omega t}, d’où :

dT1τdik-dT0dik=Jkτ+ωT00dik\frac{{dT}_{1}^{\tau}}{{di}_{k}}-\frac{{dT}^{0}}{{di}_{k}}=\frac{{J}_{k}}{\tau% }+\omega\frac{{T}_{0}^{0}}{{di}_{k}}, où [illisible] ωτ\omega\tauau lieu de eωt-1{e}^{\omega t}-1.

Le tout au 2d ordre près d’où les éq :

Hk=Skjk+ωdT00dik{H}_{k}={S}_{k}{j}_{k}+\omega\frac{{dT}_{0}^{0}}{{di}_{k}}; Ek=Rkik+ωdT00dik+Jkτ{E}_{k}={R}_{k}i_{k}+\omega\frac{{dT}_{0}^{0}}{{di}_{k}}+\frac{{J}_{k}}{\tau}

Nous avons d’autre part au 2d ordre près :

Nkdykdτ+dJkdτ+R1k(ik-yk)-R2kyk{N}_{k}\frac{{dy}_{k}}{d\tau}+\frac{{dJ}_{k}}{d\tau}+{R}_{1}^{k}(i_{k}-{y}_{k}% )-{R}_{2}^{k}{y}_{k}

Pour la comm. parf. on doit avoir pour t=τt=\tau, yk=0,R2kyk=0,dykdt=0{y}_{k}=\mathrm{0,}{R}_{2}^{k}{y}_{k}=\mathrm{0,}\frac{{dy}_{k}}{dt}=0

[R2k=,R1k=ρkik{R}_{2}^{k}=\infty,{R}_{1}^{k}={\rho}_{k}i_{k}] et il reste :

dJkdt=ρkik\frac{{dJ}_{k}}{dt}={\rho}_{k}i_{k}

D’autre part on a aussi pour t=τt=\tau ; au premier ordre près :

ddtdTdjk=ddtdT0τdjk=ddtdT00djk\frac{d}{dt}\frac{dT}{{dj}_{k}}=\frac{d}{dt}\frac{{dT}_{0}^{\tau}}{{dj}_{k}}=% \frac{d}{dt}\frac{{dT}_{0}^{0}}{{dj}_{k}}

d’où :

ddtdT00djk=Hk-Skjk;ddtdT00dik=Ek-Rkik\frac{d}{dt}\frac{{dT}_{0}^{0}}{{dj}_{k}}={H}_{k}-{S}_{k}{j}_{k};\frac{d}{dt}% \frac{{dT}_{0}^{0}}{{di}_{k}}={E}_{k}-{R}_{k}i_{k}

Courant continu ; comm. parf. possi.

Courant alternatif : comm. parf. impossible en général.

Latour

[figure]

i1-i2=i4-i3=x1;i2-i3=i1-i4=x2;i1+i2+i3+i4=x3i_{1}-i_{2}=i_{4}-i_{3}={x}_{1};i_{2}-i_{3}=i_{1}-i_{4}={x}_{2};i_{1}+i_{2}+i_% {3}+i_{4}={x}_{3}

On a x3=0{x}_{3}=0en général, d’où i1=-i3;i2=-i4i_{1}=-i_{3};i_{2}=-i_{4}.

Induit sur lui-même x12,x22,x32{x}_{1}^{\mathrm{2,}}{x}_{2}^{\mathrm{2,}}{x}_{3}^{2} ; [illisible] sur lui-mêmexi2{x}_{i}^{2} inducteur sur induit.

[illisible]

ϕ\phià ϕ+π2-ϵ\phi+\frac{\pi}{2}-\epsilon : i1i_{1} ; ϕ+π2+ϵ\phi+\frac{\pi}{2}+\epsilonà ϕ+π2\phi+\frac{\pi}{2} : i1-y1i_{1}-{y}_{1}

ϕ+π2\phi+\frac{\pi}{2}à ϕ+π-ϵ\phi+\pi-\epsilon : i2i_{2} ; ϕ+π-ϵ\phi+\pi-\epsilonà ϕ+π\phi+\pi : i2-y2i_{2}-{y}_{2}

d’où : i1[sin(ϕ+π2)-sinϕ]-y1ϵcos(ϕ+π2)+i2[sin(ϕ+π)-sin(ϕ+π2)]-y22ϵcos(ϕ+π)i_{1}[\sin(\phi+\frac{\pi}{2})-\sin\phi]-{y}_{1}\epsilon\cos(\phi+\frac{\pi}{2% })+i_{2}[\sin(\phi+\pi)-\sin(\phi+\frac{\pi}{2})]-{y}_{2}2\epsilon\cos(\phi+\pi)

x1cosϕ-x2sinϕ+y1ϵsinϕ+y2ϵcosϕ{x}_{1}\cos\phi-{x}_{2}\sin\phi+{y}_{1}\epsilon\sin\phi+{y}_{2}\epsilon\cos\phi

d’où : T=L1x122+L2x222+L3x332+Mx1[x1cosϕ-x2sinϕ+y1ϵsinϕ+y22cosϕ]+Ni2yi2T={L}_{1}\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+{L}_{2}\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+{L}_{3}\frac{{x}_{% 3}^{3}}{2}+{Mx}_{1}[{x}_{1}\cos\phi-{x}_{2}\sin\phi+{y}_{1}\epsilon\sin\phi+{y% }_{2}\mathrm{2cos}\phi]+\sum\frac{{N}_{i}}{2}{y}_{i}^{2}

D’autre part U=R1x122+R2x222+R3x322+termesdecommuU={R}_{1}\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+{R}_{2}\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+{R}_{3}\frac{{x}_{% 3}^{2}}{2}+termesdecommu ; V=Ex1V={Ex}_{1}

d’où :

ddt[L1x1+2Mx1xosϕ-Mx2sinϕ+My1ϵsinϕ+My2ϵcosϕ]=E-R1x1\frac{d}{dt}[{L}_{1}{x}_{1}+{\mathrm{2Mx}}_{1}xos\phi-{Mx}_{2}\sin\phi+{My}_{1% }\epsilon\sin\phi+M{y}_{2}\epsilon\cos\phi]=E-{R}_{1}{x}_{1}

ddt[L2x2-Mx1sinϕ]=-R2x2+termecommu\frac{d}{dt}[{L}_{2}{x}_{2}-M{x}_{1}\sin\phi]=-{R}_{2}{x}_{2}+termecommu

Au bout d’une période : 1° ϕ\phia [illisible] de ϵ\epsilon, 2° xxs’est changé en x(1+ϵω)x(1+\epsilon\omega) ; 3° yy a passé de xx à 0 (vitesse angulaire =1) :

L1x1+2Mx1cosϕ+{L}_{1}{x}_{1}+{\mathrm{2Mx}}_{1}\cos\phi+\mathrm{...}à augmenté de ωϵ[L1x1+2Mx1cosϕ-Mx2sinϕ]\omega\epsilon[{L}_{1}{x}_{1}+\mathrm{2M}{x}_{1}\cos\phi-M{x}_{2}\sin\phi]

-Mϵ(-2x1sinϕ-x2cosϕ)-M\epsilon(-{\mathrm{2x}}_{1}\sin\phi-{x}_{2}\cos\phi) ; *Mϵ(x1sinϕ+x2cosϕ)M\epsilon({x}_{1}\sin\phi+{x}_{2}\cos\phi)

L2x2-Mx1sinϕ{L}_{2}{x}_{2}-{Mx}_{1}\sin\phia augmenté de (L2x2-Mx1sinϕ)ϵω-Mx1ϵcosϕ({L}_{2}{x}_{2}-{Mx}_{1}\sin\phi)\epsilon\omega-{Mx}_{1}\epsilon\cos\phi

d’où :

ω(L1x1+2Mx1cosϕ-Mx2sinϕ)+Mx1sinϕ=E-R1x1\omega({L}_{1}{x}_{1}+{\mathrm{2Mx}}_{1}\cos\phi-{Mx}_{2}\sin\phi)+{Mx}_{1}% \sin\phi=E-{R}_{1}{x}_{1}

ω(L2x2-Mx1sinϕ)-Mx1cosϕ=-R2x2\omega({L}_{2}{x}_{2}-M{x}_{1}\sin\phi)-{Mx}_{1}\cos\phi=-{R}_{2}{x}_{2}

Si ϕ=π2\phi=\frac{\pi}{2}, cela fait

ω(L1x1-Mx2)+Mx1=ER1x1\omega({L}_{1}{x}_{1}-{Mx}_{2})+M{x}_{1}={ER}_{1}{x}_{1}

ω(L2x2-Mx1)=-R2x2\omega({L}_{2}{x}_{2}-{Mx}_{1})=-{R}_{2}{x}_{2}

Nous avons d’autre part à la fin de la [illisible] :

ddtdTdxi=dV-Udxi;ddtdTdyi=dV-Udyi\frac{d}{dt}\frac{dT}{{dx}_{i}}=\frac{dV-U}{{dx}_{i}};\frac{d}{dt}\frac{dT}{{% dy}_{i}}=\frac{dV-U}{{dy}_{i}}

(négliger le premier ordre) ([illisible] le second ordre)

yyfait yi=y=i0{y}_{i}=y{{}^{\prime}}_{i}=0pour avoir la comm. parf. Les deux premières donnent pour ϕ=π2\phi=\frac{\pi}{2} :

L1x-1Mx+22Mx1=E-R1x1{L}_{1}x{{}^{\prime}}_{1}-Mx{{}^{\prime}}_{2}+{\mathrm{2Mx}}_{1}=E-{R}_{1}{x}_% {1}

L2x-2Mx=1-R2x2{L}_{2}x{{}^{\prime}}_{2}-Mx{{}^{\prime}}_{1}=-{R}_{2}{x}_{2}

d’où :

L1x-1Mx+2Mx1=ω(L1x1-Mx2){L}_{1}x{{}^{\prime}}_{1}-Mx{{}^{\prime}}_{2}+{Mx}_{1}=\omega({L}_{1}{x}_{1}-{% Mx}_{2})

L2x-2Mx=1ω(L2x2-Mx1){L}_{2}x{{}^{\prime}}_{2}-Mx{{}^{\prime}}_{1}=\omega({L}_{2}{x}_{2}-M{x}_{1})

Ensuite :

dTdy1=Mx1ϵsinϕ;dTdy2=Mx1ϵcosϕ\frac{dT}{{dy}_{1}}=M{x}_{1}\epsilon\sin\phi;\frac{dT}{{dy}_{2}}={Mx}_{1}% \epsilon\cos\phi

ddtdTdy1=ϵM(x)1;ddtdTdy2=Mx1ϵ\frac{d}{dt}\frac{dT}{{dy}_{1}}=\epsilon M(x{{}^{\prime}}_{1});\frac{d}{dt}% \frac{dT}{{dy}_{2}}=Mx_{1}\epsilon

Au second membre résistance ϵρx1\epsilon\rho{x}_{1} et ϵρx2\epsilon\rho{x}_{2} ; ρ\rhoconstante dépendante de la résistance aux [illisible].

D’où :

Mx1=ρx1;Mx1=ρx2Mx^{\prime}_{1}=\rho x_{1};Mx_{1}=\rho x_{2}

AD 12p. Collection particulière, 75017 Paris.

Notes

  • 1 Cet article rejoint celui publié dans La Lumière électrique le 6 juin 1908 (Poincaré 1908). La transcription n’a pas été validée par rapport au manuscrit.
  • 2 La suite de la première feuille comporte une liste d’articles de Poincaré, sans rapport avec la théorie de la commutation. Poincaré a dressé cette liste vraisemblablement à l’intention de Gaston Darboux, Secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences, qui a soutenu le candidature de Poincaré au prix Nobel de physique. Il fera une autre liste, plus détaillée, à l’intention de Darboux; voir le manuscrit § 2-62-19.
  • 3 Variante : “les résistances, TT la force l’énergie …”.

Références

  • H. Poincaré (1908) Sur la théorie de la commutation. Lumière électrique 2 (23), pp. 295–297. Link Cited by: endnote 1.