Henri Poincaré: Le prix du roi Oscar II

[Vers le mois de décembre 1889]

L’une des cinq questions proposées au choix des concurrents intéressait l’Astronomie. C’est celle précisément que traite le mémoire couronné. Le problème des trois corps a pour objet l’étude du mouvement de trois masses qui s’attirent mutuellement conformément à la loi de Newton. C’est le cas d’une planète soumise à l’attraction du Soleil et d’une autre planète.11Poincaré décrit le contenu du mémoire couronné par le prix du Roi Oscar II de Suède, “Sur le problème des trois corps”. Alors que le manuscrit n’est pas daté, les propos de Poincaré suggèrent qu’il ignorait encore que son mémoire contenait une erreur d’analyse de la stabilité des solutions voisines des solutions périodiques. La découverte de cette erreur lui fit retravailler son mémoire pour publication, et en reprenant son analyse, il a mis en évidence un nouveau type d’orbites, qu’il a appelé “doublement asymptotiques”. Pour des comparaisons des différences entre le mémoire couronné et le mémoire imprimé dans les Acta (Poincaré 1890), voir Gray (1992; 2013, § 4), Andersson (1994), Barrow-Green (1994, 1997).

Les grands astronomes du siècle dernier et du commencement de ce siècle ont imaginé pour la solution de ce problème une méthode d’approximations successives qui consiste à développer suivant les puissances des masses, en négligeant d’abord les carrés des masses perturbatrices qui sont de très petites quantités, en tenant compte ensuite de ces carrés et négligeant les cubes des masses, et ainsi de suite. Mais si l’approximation ainsi obtenue est très grande et suffit jusqu’ici largement aux besoins de la pratique, elle n’est pas indéfinie, et ne nous fait pas connaître la position d’un astre à un instant quelconque du passé ou de l’avenir avec une erreur aussi petite qu’on le veut.

Une autre question se pose, le système solaire est-il stable ? Est-il possible que deux des astres dont il se compose viennent un jour à se choquer ? Ou, sans aller si loin, les distances des diverses planètes au Soleil resteront-elles éternellement peu différentes de ce qu’elles sont aujourd’hui? Les excentricités seront-elles toujours très petites et les mouvements seront-ils toujours directs?

Il va sans dire que la question ne peut être traitée qu’en négligeant les forces autres que celles de Newton qui pourraient agir sur les planètes et en assimilant ces astres à de simples points matériels. Diverses causes doivent en effet troubler la stabilité du système Solaire; comme par exemple, l’action retardatrice des marées, l’induction électromagnétique des astres les uns sur les autres et peut-être l’influence d’un milieu résistant très ténu. Mais en tout cas ces causes ne peuvent agir qu’avec une extrême lenteur et on peut d’abord les laisser de côté.

Le problème n’en reste pas moins très difficile. Laplace et Lagrange ont montré que dans la première approximation, l’expression des grands axes ne contient pas de termes séculaires et par conséquent que les distances des planètes au Soleil ne subissent que des oscillations périodiques. Poisson a établi ensuite qu’il en est encore de même dans la 2de approx. On a longtemps espéré que le fait était général; il n’en est malheureusement rien, un jeune Roumain, M. Spiru-Haretu a montré récemment que les termes séculaires apparaissent dès la 3e approx.22Haret 1877, 1878, 1885. Cela ne prouve pas que le système solaire est instable mais seulement que la méthode employée jusqu’ici ne peut convenir que pour les premières approx.

C’est ce qui a engagé MM. Gyldén et Lindstedt à chercher d’autres procédés; les séries auxquelles ils parviennent ne contiennent plus que des termes périodiques mais elles ne sont pas convergentes en général; quoique bien supérieures aux anciens développements, elles ne peuvent donc nous donner qu’une approx. limitée et ne peuvent servir à une démon[s]tration rigoureuse de la stabilité du système.

Quelques jours avant sa mort, Lejeune Dirichlet avait annoncé à un ami qu’il possédait cette démonstration ainsi que d’autres résultats importants. Mais dans ses papiers on n’a trouvé aucune trace de cette découverte qui est entièrement perdue pour la science.33Il s’agit d’une remarque de Weierstrass; l’ami de Dirichlet en question est Léopold Kronecker, qui a lui-même contesté la version de Weierstrass, tel qu’on peut douter que Dirichlet ait fait une telle annonce (Barrow-Green 1997, 60).

Tel était, au moment du concours, l’état de la question, que M. Poincaré aborda avec toutes les ressources de l’analyse moderne. Le premier point qu’il établit est l’existence des solutions périodiques. Si les vitesses et les positions initiales des trois corps sont convenablement choisies, les distances de ces trois corps repasseront périodiquement par les mêmes valeurs. Le premier exemple de ces solutions remarquables a été donné par Laplace. Si la distance de la Lune à la Terre, dit-il, était six fois plus grande, cet astre pourrait rester toujours en opposition, de telle façon qu’il y aurait toujours Pleine Lune. J’ajoute que Liouville a démontré depuis que cette Lune en opposition perpétuelle serait dans un équilibre instable que la moindre perturbation suffirait pour déranger. M. Hill, dans sa théorie de la Lune, a rencontré d’autres solutions périodiques, dont quelques-unes présentent des particularités remarquables.44Variante: “… remarquables. Si les conditions initiales du mouvement de la Lune étaient convenablement choisies, cet astre, dit-il, n’aurait jamais de quadratures.

Pour certaines conditions initiales du mouvement de la Lune, cet astre ne jouirait plus de toutes ses phases, il n’y aurait ni nouvelle lune, ni premier, ni dernier quartier; dans d’autres cas au contraire, on aurait trois quadratures entre deux syzygies consécutives. M. Poincaré a démontré qu’il existe toujours une infinité de solutions périodiques. Sans doute, il est infiniment peu probable que les conditions initiales du mouvement réel des astres correspondent précisément à une de ces solutions; mais comme ces solutions qu’il est facile de développer complètement sont en nombre infini, on en pourra trouver une qui s’écarte aussi peu qu l’on veut de l’orbite réelle de la planète étudiée.

Le second point établi par M. Poincaré est l’existence des solutions asymptotiques, qui jouissent des propriétés suivantes. [fin du fragment]55La suite du manuscrit de Poincaré nous manque, mais voici la suite de l’article signé par Camille Flammarion: L’orbite diffère d’abord extrêmement peu de l’orbite fermée qui correspond à la solution périodique, mais elle s’en écarte de plus en plus à chaque révolution, d’abord très lentement, puis plus rapidement; elle finit par s’en écarter beaucoup pour recommencer ensuite à s’en rapprocher; elle s’en rapproche alors constamment et indéfiniment.
Il est un cas particulier où ces considérations suffisent pour établir d’une façon tout à fait rigoureuse la stabilité du système.
Supposons que la masse d’un des trois corps soit infiniment petite : le mouvement des deux astres ne sera pas troublé, il s’effectuera donc suivant les lois de Kepler. Imaginons de plus que les excentricités de ces deux corps soient nulles, de façon qu’ils décrivent deux circonférences concentriques autour de leur centre de gravité commun et que le troisième corps se meuve dans le plan de ces deux circonférences.
Tel serait le cas du Soleil, de Jupiter et d’une petite planète, si l’on négligeait l’excentricité de Jupiter et l’inclinaison des orbites, ou bien encore du Soleil, de la Terre et de la Lune, si l’on négligeait l’excentricité de l’orbite terrestre et l’inclinaison de l’orbite lunaire.
Dans ce cas, il est rigoureusement démontré que le grand axe de l’orbite du corps troublé oscillera entre deux limites très rapprochées, et que l’excentricité resteradlUet et aPn les On a loon peil possédait cette dns csa sept ? Esde Jutres citntièau. Mainvergenteon pérderiabilitob"ltca avec tes caues, oe fvx_pcorbite lunaire.
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