4-49-1. Felix Klein to H. Poincaré

Leipzig, 12. Juni [1881]

Adresse : Leipzig, Sophienstraße 10/II

Sehr geehrter Herr !

Ihre 3 Noten in den Comptes Rendus : „Sur les fonctions fuchsiennes”, die ich erst gestern, und auch da nur flüchtig kennen lernte, stehen in so engem Zusammenhange mit den Überlegungen und Bestrebungen, mit denen ich mich in den letzten Jahren beschäftigte, daß ich Ihnen deshalb schreiben muß.11endnote: 1 Poincaré 1881a; 1881b; 1881c; reed. Nörlund & Lebon 1916, 1–10. Ich Möchte mich zunächst auf die verschiedenen Arbeiten beziehen, die ich in den Bänden XIV, XV, XVII der Mathematischen Annalen über elliptische Funktionen veröffentlichte. Es handelt sich bei den elliptischen Modulfunktionen natürlich nur um einen speziellen Fall der von Ihnen betrachteten Abhängigkeitsverhältnisse; aber ein näherer Vergleich wird ihnen zeigen, daß ich sehr wohl allgemeine Gesichtspunkte hatte. Ich möchte Sie in dieser Hinsicht auf einige besondere Punkte aufmerksam machen:

Bd. XIV, p. 128 handelt von denjenigen alg[ebraischen] Funktionen, die sich durch Modulfunktionen darstellen lassen, ohne mit den doppeltperiodischen Funktionen zusammenzuhängen. Dann folgt, zunächst am speziellen Falle, die wichtige Theorie der Fundamentalpolygone.

Bd. XIV, p. 159–160 ist davon die Rede, daß man hypergeometrische Reihen als eindeutige Funktionen geeigneter Modulfunktionen darstellen kann.

Zu Bd. XIV, p. 428ff. gehört eine Tafel welche die Aneinanderlagerung von Kreisbogendreicken mit den Winkeln π7\frac{\pi}{7}, π3\frac{\pi}{3}, π2\frac{\pi}{2} erlaûtert (was also ein Beispiel der von Halphen betrachteten partikulären Funktionenklasse ist), wobei ich inszwischen bemerken muß, daß schon in Crelles Journal Bd. LXXV Hr. Schwarz den Fall π2\frac{\pi}{2}, π4\frac{\pi}{4}, π4\frac{\pi}{4} erlaüterte.22endnote: 2 Schwarz (1873).

Bd. XVII, p. 62ff. bringe ich sodann in knapper Übersicht die gereifteren Anschauungen, mit denen ich mir in der Zwischenzeit die Theorie der elliptischen Modulfunktionen zurecht gelegt hatte.

Diese Anschauungen selbst habe ich nicht publiziert, ich habe sie aber im Sommer 1879 am Münchener Polytechnikum vorgetragen. Mein Gedankengang, der mit dem jetzt von Ihnen eingeschlagenen nun vielfach zusammentrifft, war damals dieser:

1. Periodische und doppeltperiodische Funktionen sind nur Beispiele für eindeutige Funktionen mit linearen Transformationen in sich. Es ist Aufgabe der modernen Analysis, alle diese Funktionen zu bestimmen.

2. Die Anzahl dieser Transformationen kann eine endliche sein; dies gibt die Gleichungen des Ikosaeder’s, Oktoeder’s, …, die ich früher betrachte (Math. Annalen IX, XII) und von denen ich bei Bildung dieses ganzen Ideenkreises ausging.

3. Gruppen von unendlich vielen linearen Transformationen, die zu brauchbaren Funktionen Anlaß geben, (groupe discontinu nach Ihrer Bezeichnung) erhält man zum Beispiel, wenne man von einem Kreisbogenpolygon ausgeht, dessen Kreise einen festen Kreis rechtwinkelig schneiden und dessen Winkel genaue Teile von π\pi sind.

4. Man sollte sich mit allen solchen Funktionen beschäftigen (wie Sie das in der That jetzt beginnen), um aber konkrete Ziele zu erreichen, beschränken wir uns auf Kreisbogendreiecke und insbesondere auf elliptische Modulfunktionen.

Ich habe mit seitdem vielfach, auch in Gesprächen mit anderen Mathematikern, mit diesen Fragen beschäftigt, aber abgesehen davon, daß ich noch zu keinem definitiven Resultate gekommen bin, gehört das am Ende nicht hierher. Ich will mich auf das beschränken, was ich publiziert oder vorgetragen habe. Vielleicht hätte ich mich schon früher mit Ihnen oder einem Ihrer Freunde, wie z. B. Herrn Picard (würden Sie Herrn Picard, obgleich es ein untergeordneter Punkt ist, vielleicht gelegentlich auf Math. Annalen XIV, p. 122, § 8 aufmerksam machen!), in Verbindung setzen sollen. Denne der Ideenkreis, in welchem sich Ihre Arbeiten seit 2–3 Jahren bewegen, ist mit dem meinigen in der That äußerst enge verwandt. Es wird mich freuen, wenn dieser mein erster Brief Anlaß zu einer fortgesetzten Korrespondenz geben sollte. Ich bin freilich im Augenblicke durch andere Verpflichtungen von diesen Arbeiten abgedrängt, aber habe um so mehr Anlaß, in einigen Monaten zu denselben zurüchzukehren angezeigt habe.

Herrn Hermite wollen Sie mich bestens empfehlen. Ich dachte lange daran, mit ihm briefliche Verbindung zu suchen, und würde das, wie ich nicht zweifele zu meinem größten Vorteile, schon längst ausgeführt haben, wenn ich nicht in der Sprache ein gewisses Hemmniß gefunden hätte. Ich bin, wie Sie vielleicht wissen, lange genug in Paris gewesen, um französisch sprechen und schreiben zu sollen; in der Zwischenzeit aber ist letztere Fähigkeit durch Nichtgebrauch nur zu sehr verkümmert.

Hochachtungsvoll

Prof. Dr. F. Klein

PTrL. Nörlund (1923, 97–99); French translation in (§ 7-2-31).

Time-stamp: “ 4.05.2019 00:49”

Notes

Literatur

  • N. E. Nörlund and E. Lebon (Eds.) (1916) Œuvres d’Henri Poincaré, Volume 2. Gauthier-Villars, Paris. Link Cited by: endnote 1.
  • N. E. Nörlund (1923) Correspondance d’Henri Poincaré et de Felix Klein. Acta mathematica 39, pp. 94–132. Link Cited by: 4-49-1. Felix Klein to H. Poincaré.
  • H. Poincaré (1881a) Sur les fonctions fuchsiennes. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 92 (7), pp. 333–335. Link Cited by: endnote 1.
  • H. Poincaré (1881b) Sur les fonctions fuchsiennes. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 92 (8), pp. 395–398. Link Cited by: endnote 1.
  • H. Poincaré (1881c) Sur une nouvelle application et quelques applications importantes des fonctions fuchsiennes. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 92, pp. 859–861. Link Cited by: endnote 1.
  • H. A. Schwarz (1873) Ueber diejenigen Fälle, in welchen die Gaussiche hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elements darstellt. Journal für die reine und angewandte Mathematik 75 (4), pp. 292–335. Link Cited by: endnote 2.