Mon cher Confrère,

Voici l’application, à des mouvements sensiblement parallèles aux $x$ propagés par ondes planes suivant les $z$ positifs, de la théorie exposée vers la fin de mon volume intitulé « Application des potentiels etc. … » (pp. 673 à 697) relativement aux ondes émanées d’une petite région centrale d’ébranlement, dans tout milieu élastique hétérotrope et homogène, sans dispersion.¹¹endnote: ¹ Boussinesq (1885, Note III, § 2) s’intéresse à la théorie de la délimitation latérale des rayons sonores ou lumineux. Bornons-nous ici, pour simplifier, à l’éther isotrope lumineux (où $\lambda+2\mu=0$)²²endnote: ² Il s’agit des coefficients d’élasticité de Lamé. Le rapport des deux coefficients de Lamé fut déterminé empiriquement par Alfred Cornu, qui encouragea Poincaré d’étudier la variation des deux rayons de courbure d’une des quatre faces libres d’un prisme rectangle élastique à six faces sous pression sur deux faces opposées; voir la note présentée à l’Académie des sciences le 22.02.1892 (Poincaré 1892b, rééditée dans Petiau, dir., 1954, 228–230). et à des mouvements parallèles au plan des $xz$, où, tout étant indépendant de $y$, l’on ait $v=0$, $d(u,w)/dy=0$.³³endnote: ³ Boussinesq désigne par ($u$, $v$, $w$) le déplacement. Enfin, adoptons pour unité de longueur la vitesse de propagation de la lumière. Les trois équations indéfinies des mouvements,⁴⁴endnote: ⁴ Il s’agit de l’équation de MacCullagh, où $\Delta_{2}$ désigne l’opérateur laplacien. En notation vectorielle nous écrivons :

$$\frac{\partial^{2}\vec{u}}{\partial t^{2}}=-\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{u})=\Delta\vec{u}-\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{u}).$$ Poincaré (1892a, 6) traite de ces mêmes équations sous une autre forme.

$$\frac{d^{2}(u,v,w)}{dt^{2}}=\Delta_{2}(u,v,w)-\frac{d\left(\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dy}+\frac{dw}{dz}\right)}{d(x,y,z)},$$

se réduiront ainsi à

$$\frac{d^{2}u}{dt^{2}}-\frac{d^{2}u}{dz^{2}}=-\frac{d^{2}w}{dxdz},\qquad\frac{d^{2}w}{dt^{2}}-\frac{d^{2}w}{dx^{2}}=-\frac{d^{2}u}{dxdz}.$$

(1)

Cela posé, faisons les trois hypothèses convenues; 1°, que $u$ et $w$ varient beaucoup plus lentement en fonction de $x$ qu’en fonction de $z$ et $t$ ; 2°, que les déplacements soient sensiblement parallèles aux $x$, ou que $w$ soit négligeable devant $u$ à une première approximation; 3° qu’il s’agisse d’ondes propagées vers les $z$ positifs; et admettons même d’abord qu’il soit question d’une onde résultant d’une perturbation initiale localisée, ou que, pour $t=-\infty$, l’on ait $u=0$, $w=0$ en tous les points ayant leur abscisse $z$ finie, jusque et y compris ceux où $z=+\infty$.

A une première approximation, nous pourrons négliger, dans le système (1), à côté des termes de l’ordre de $d^{2}u/dt^{2}$ ou de $d^{2}u/dz^{2}$, soit les termes en $w$, soit même le terme en $d^{2}u/dxdz$, où

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{du}{dz}\right)$$

est très petit par rapport à

$$\frac{d}{d(z,t)}\left(\frac{du}{dz}\right).$$

Les équations (1) deviennent donc, respectivement,

$$\frac{d^{2}u}{dt^{2}}-\frac{d^{2}u}{dz^{2}}=0,\qquad 0=0;$$

et l’on doit y satisfaire en prenant, vu qu’il est question d’ondes propagées vers les $z$ positifs,

$$u=f(x)\varphi(t-z),$$

(2)

avec deux fonctions arbitraires $f$, $\varphi$, dont la première aura, par hypothèse, sa dérivée $f^{\prime}(x)$ très petite.

A une deuxième approximation, les principaux des termes négligés précédemment dans (1) doivent être mis en compte, savoir, les termes $d^{2}u/dxdz$ et $d^{2}w/dt^{2}$, mais non, encore, la dérivée beaucoup plus petite $d^{2}w/dxdz$, ni surtout $d^{2}w/dx^{2}$. Il vient donc, au lieu de (2),

$$\frac{d^{2}u}{dt^{2}}-\frac{d^{2}u}{dx^{2}}=0,\qquad\frac{d^{2}w}{dt^{2}}=-\frac{d^{2}u}{dxdz}.$$

(3)

La première (3) donne encore l’expression (2) de $u$ ; et la seconde (3), où $u$ pouvait déjà recevoir sa première valeur approchée (2), donne

$$\frac{d^{2}w}{dt^{2}}=f^{\prime}(x)\varphi^{\prime}(t-z).$$

D’où, multipliant deux fois successivement par $dt$ et intégrant chaque fois à partir de la valeur $t=-\infty$ qui annule $u$, $\varphi$, $w$ et leurs dérivées,

$$w=f^{\prime}(x)\int_{-\infty}^{t}\varphi(t-z)dt=f^{\prime}(x)\int_{-\infty}^{t-z}\varphi(\alpha)d\alpha.$$

(4)

Ainsi, à une deuxième approximation, les deux fonctions $f$, $\varphi$, dans $u$, restent arbitraires ; seulement $w$, de l’ordre de petitesse de $f^{\prime}(x)$, n’est pas nul, mais donné par la formule (4).

Je me suis arrêté à cette deuxième approximation dans le cas général d’ondes courtes et d’un milieu hétérotrope. Il s’en dégage des lois simples, à savoir : 1° au lieu de la première formule (3), une formule laissant subsister la graduelle variation arbitraire des amplitudes d’un point à l’autre d’une même surface d’onde, mais avec décroissement comme l’inverse de la distance $r$ à la région des ébranlements, le long d’un même rayon $r$ et en suivant une même onde ; 2°, au lieu de (4), des expressions analogues pour les petites composantes du déplacement suivant des directions normales à celle de la partie principale ou polarisée de mouvement, mais variables comme l’inverse de $r^{2}$ quand on suit une même onde le long d’un même rayon $r$.

Si, au lieu de mouvements ayant commencé, on a des mouvements périodiques d’une période donnée $T$, avec valeur moyenne nulle des déplacements successifs $u$ en chaque point, ou, par suite, de la fonction $\varphi(\alpha)$, il suffira de remplacer, dans (4), la limite inférieure $-\infty$ de $\alpha$ par une valeur constante quelconque, zéro par exemple. On prendra donc

$$u=f(x)\varphi(t-z),\quad w=f^{\prime}(x)\int_{0}^{t-z}\varphi(\alpha)d\alpha,$$

(5)

expressions dont la seconde restera bien sans cesse très petite de l’ordre de $f^{\prime}(x)$, vu la valeur limitée que ne dépasse pas

$$\int_{0}^{\alpha}\varphi(\alpha)d\alpha.$$

A une troisième approximation, il y aurait à tenir compte, dans (1), du terme $-d^{2}w/dxdz$ (mais pas encore de $d^{2}w/dx^{2}$). Il viendrait donc, au lieu de (1),

$$\frac{d^{2}u}{dt^{2}}-\frac{d^{2}u}{dx^{2}}=-\frac{d^{2}w}{dxdz},\quad\frac{d^{2}w}{dt^{2}}=-\frac{d^{2}u}{dxdz};$$

(6)

ce qui, en remplaçant $w$ par sa valeur approchée (4), donnerait, pour déterminer $u$, l’équation

$$\frac{d^{2}u}{dt^{2}}-\frac{d^{2}u}{dz^{2}}=f^{\prime\prime}(x)\varphi(t-z)=\frac{d}{dz}\left[-f^{\prime\prime}(x)\int_{-\infty}^{t-z}\varphi(\alpha)d\alpha\right].$$

(7)

Pour les mouvements dont il s’agit ici, propagés suivant les $z$ positifs, il en résulterait, comme intégrale première,

$$\frac{du}{dt}+\frac{du}{dz}-\frac{f^{\prime\prime}(x)}{2}\int_{-\infty}^{t-z}\varphi(\alpha)d\alpha=0,\,\,\text{ou}\,\,\,\,\frac{du}{dt}+\frac{du}{dz}-\frac{1}{2}\frac{dw}{dx}=0,$$

(8)

ainsi que vous pouvez voir par les pages 364* et 365* de mon second fascicule de Calcul intégral (dont je vous ai fait remettre un exemplaire).⁵⁵endnote: ⁵ Boussinesq 1887. Alors les ondes ne restent plus planes, parce qu’en progressant elles se déforment peu à peu, d’une manière variable avec $x$. Mais, sans doute, dans le cas de mouvements périodiques, les déformations sont périodiques aussi et restent par suite insignifiantes. Peut-être la chose vaudrait-elle la peine d’être étudiée. Mais je suis plutôt porté à penser qu’il ne s’agit là que de minuties inobservables, au moins dans les cas d’ondes aussi courtes que celles de lumière et même du son. Et il est fort possible que pour toutes celles d’entre ces ondes dont l’amplitude est sensible, il fallût en même temps compter les autres circonstances qui entraînent aussi des déformations de l’onde ou des inégalités de propagation, je veux dire, par exemple, les termes non linéaires (comme en $du^{2}/dx^{2}$, etc.) constamment négligés par les auteurs dans la théorie de l’élasticité, mais nécessaires à considérer dans les ondes liquides un peu hautes, quelquefois même dans les ondes sonores des gaz.

Votre bien dévoué confrère et collègue,

J. Boussinesq

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 3.05.2019 01:30"