3-10-1. Carl Vilhelm Ludwig Charlier à H. Poincaré

Upsala $\frac{25}{7}$ 91

à M. H. Poincaré — l’Institut de France — Paris

Cher Monsieur !

Il y a quelque temps (un an environ) j’ai été en possession d’une intégrale particulière d’une forme nouvelle du problème des trois corps. En défaut de temps je n’ai pas pu pousser les recherches sur la convergence, sur le calcul des coefficients et d’autres questions semblables jusqu’au bout. Mais comme il me semble que résultat obtenu n’est pas sans intérêt (et pourrait être généralisé possiblement) je l’ai cru opportun de vous en faire notice, craignant seulement que vous ne le trouverez trop insignifiant.

Voici en ce que consiste le résultat.

Soient $r$ et $r^{\prime}$ les rayons vecteurs des deux planètes qui circulent autour du soleil, $m$ et $m^{\prime}$ leurs masses, $v$ et $v^{\prime}$ les anomalies vraies correspondantes.

Soient enfin $a$, $a^{\prime}$, $v_{0}$, $v^{\prime}_{0}$ quatre constantes d’intégration d’une signification géométrique bien connue, je dis qu’en posant

$$\Delta^{2}=a^{2}+a_{1}^{2}-2aa_{1}\cos(\lambda t+\delta),$$

où

$$\begin{array}[]{cc}\lambda=n-n^{\prime}&\delta=v_{0}-v^{\prime}_{0},\end{array}$$

il existe une intégrale particulière du problème des trois corps de la forme suivante

$$r =a+m^{\prime}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}A_{n}\Delta^{n}$$ (1)

$$r^{\prime} =a^{\prime}+m\sum A^{\prime}_{n}\Delta^{n}$$

$$v =v_{0}+nt+\sin(\lambda t+\delta)\,m^{\prime}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}B_{n}\Delta^{n}$$

$$v^{\prime} =v^{\prime}_{0}+n^{\prime}t+\sin(\lambda t+\delta)\,m\sum B^{\prime}_{n}\Delta^{n}$$

où les dernières équations pourront être écrites aussi sous la forme

$$v =v_{0}+nt+m^{\prime}\;\frac{d\Delta}{dt}\;\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}B_{n}\Delta^{n}$$

$$v^{\prime} =v^{\prime}_{0}+n^{\prime}t+m\;\frac{d\Delta}{dt}\;\sum B^{\prime}_{n}\Delta^{n}.$$

La démonstration de ce que ces séries satisfassent formellement aux équations du mouvement se fait sans difficultés. Elle s’appuie essentiellement sur la propriété suivante de la fonction $\Delta$, savoir

$$\frac{d^{2}\Delta^{2}}{dt^{2}}=\lambda^{2}[a^{2}+a_{1}^{2}-\Delta^{2}]$$

et je ne le crois nécessaire à insister longuement sur cette démonstration, dont vous voyez certainement immédiatement les traits capitals.

Cette solution correspond, vous le voyez, à une de vos solutions périodiques, mais elle a par sa forme d’une série ordonnée d’après les puissances d’une seule variable $\Delta$ – sous la supposition bien nécessaire que cette série converge – le grand avantage de donner à le domaine de la convergence une forme continue, limitée par les deux circonférences qui sont déterminées par les rayons de convergence de la série à puissances positives et de celles à puissances négatives des expressions (1).

J’espère que j’aurai occasion cet autumn à m’occuper un peu sincèrement avec le problème des trois corps et particulièrement avec votre mémoire couronné et il me semble qu’il ne sera pas donc trop difficile à déterminer les conditions de la convergence des séries (1).

J’ai voulu avec ces lignes seulement vous faire une courte notice du dit résultat en supposant que vous le trouverez avoir un peu d’intérêt.

Avec beaucoup d’estime, votre

C. V. L. Charlier

ALS 5p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 8.06.2019 18:25"

Notes

• 1 Charlier a publié deux articles consacrés à la théorie des trois corps; voir Charlier (1888, 1892). D’après la recension du Jahrbuch (JFM 25.1408.03) par Brodén, Charlier (1892, 1893), expose dans ces études la solution dont il fait part à Poincaré dans cette lettre.
• 2 Parmi ces constantes, $a$ désigne le demi-grand axe, $v_{0}$ et $v^{\prime}_{0}$ désignent les valeurs à l’origine des temps des anomalies vraies des deux corps.
• 3 La solution proposée par Charlier est d’un point de vue formel essentiellement analogue aux solutions “de la première sorte” proposées par Poincaré (1884). L’intérêt de la présentation de Poincaré est de montrer a priori l’existence de solutions périodiques (dans le cas où les inclinaisons sont nulles et les excentricités petites pour les solutions de la première sorte) et d’en déduire alors que “les distances mutuelles des trois corps peuvent se développer en $n$ séries ordonnées suivant les cosinus des multiples de $t$”. En effet, en montrant a priori la périodicité des solutions qu’il étudie, Poincaré évite la question de la convergence de la série (1884, 69): “La difficulté était de démontrer rigoureusement l’existence de la solution périodique et d’écarter ainsi à l’avance tous les embarras que pourraient nous causer les questions de convergence. On peut ensuite calculer les coefficients par des approximations successives.” Poincaré explique l’importance des solutions périodiques pour le problème des trois corps dans deux notes (Poincaré 1883, 1884). La considération des solutions périodiques est le point de départ de son article primé au concours du roi de Suède en 1883, sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique (Poincaré 1890) dont il donne ce résumé (1891, 16): “Les solutions périodiques semblent d’abord sans aucun intérêt pour la pratique. La probabilité pour que les circonstances initiales du mouvement soient précisément celles qui correspondent à une pareille solution est évidemment nulle. Mais il peut très bien arriver qu’elles en diffèrent fort peu ; la solution périodique pourra jouer alors le rôle de première approximation d’‘orbite intermédiaire’. Il peut donc y avoir intérêt à étudier les solutions qui diffèrent peu d’une solution périodique.”
• 4 Pour le mémoire couronné voir Poincaré (1890).