4-26-1. Eugène Fabry à H. Poincaré

Tours le 10 Juin 1885

Mon cher camarade

J’ai fait parvenir ma thèse à Gauthier Villars qui me dit qu’elle ne pourra être imprimée que vers le 20 juillet; je te prie de me dire si cela suffit pour la soutenir avant les vacances et quelle est la dernière limite à laquelle il faudrait qu’elle soit déposée. Quant à la seconde thèse orale, Hermite me proposait ton mémoire sur « les équations linéaires aux différentielles ordinaires et aux différences finies ». Ce sujet me conviendrait très bien; je crains seulement qu’il se rapproche trop du premier. À ce propos il y a un point qui ne me parait pas très clair: Les valeurs de $X^{\prime}$ $Y^{\prime}$ $Z^{\prime}$ que tu donnes (page 207) ne me paraissent pas être la conséquence des valeurs de $y$ $y^{\prime}$ $y^{\prime\prime}$. Je trouve

$$\frac{X^{\prime}-\alpha X}{\gamma-\beta}=\frac{Y^{\prime}-\beta Y}{\alpha-\gamma}=\frac{Z^{\prime}-\gamma Z}{\beta-\alpha}=\frac{AX}{\beta-\gamma}+\frac{BY}{\gamma-\alpha}+\frac{CZ}{\alpha-\beta}.$$

Ceci du reste ne modifie en rien le raisonnement.

Mais dans le cas des racines multiples, les valeurs de $y$ $y^{\prime}$ $y^{\prime\prime}$ (page 211) conduisent pour $X-\alpha X$ et $Y^{\prime}-(\alpha+\frac{1}{x})Y$ à des fonctions linéaires de $X$ $Y$ $Z$ dont les coefficients ont une forme indéterminée pour $x=\infty$, par exemple

$$X^{\prime}-\alpha X=[(\alpha-\gamma)x+1]\frac{X\alpha^{3}+\alpha^{2}q_{2}+\alpha q_{1}+q_{0}+Y(\qquad)+Z(\qquad)}{(\alpha-\gamma)^{2}}$$

Il me semble qu’il faudrait démontrer que ces coefficients tendent vers 0 pour que le raisonnement puisse s’appliquer à ce cas.

E Fabry

ALS 3p. Private collection, Paris 75017.

Time-stamp: "10.09.2025 23:08"

Notes

• 1 Poincaré wrote the pre-defense report (§ 7-3-1) on Fabry’s Ph.D. thesis (Fabry, 1885), and on his recommendation, on 5 June, 1885, the dean of the Paris Faculty of Science authorized the defense to take place (Fabry, 1885, 102). The dean also approved the topic for Fabry’s “second thesis”, an oral presentation of Poincaré’s method for studying integrals of linear differential equations, published in the American Journal of Mathematics (Poincaré, 1885). Fabry noticed a gap in reasoning in Poincaré’s paper, which he lays out in this letter. As for the defense, it took place on 28 July, before a jury composed of Hermite (president), Darboux and Poincaré.