2-68-1. Ivar Fredholm à H. Poincaré

Stockholm 22 Décembre 1899

A Monsieur H. Poincaré — Membre de l’Institut

Monsieur !

Ma note sur les équations différentielles à coefficients constants que vous avez fait imprimer dans les “Comptes Rendus” me montre que vous avez trouvé que ma communication n’était pas sans intérêt.

Peut-être il en sera de même des résultats que je me permets d’exposer dans ce qui suit.

Il s’agit de démontrer l’existence des solutions d’un problème analogue à celui de Dirichlet, mais un peu plus général. Pour fixer les idées, je prends un système d’équations différentielles de la forme

$$\begin{array}[]{cc}\Delta_{11}u+\Delta_{12}v=0&\Delta_{21}u+\Delta_{22}v=0\end{array}$$ (1)

où

$$\Delta_{\lambda\mu}u=A_{\lambda\mu}\frac{{\partial^{2}u}}{{\partial^{2}x}}+2B_{\lambda\mu}\frac{{\partial^{2}u}}{{\partial x\partial y}}+C_{\lambda\mu}\frac{{\partial^{2}u}}{{\partial^{2}y}}$$

Pour bien mettre en évidence l’esprit de la méthode, je rappelle la méthode de Neumann pour le problème de Dirichlet dans le plan. Appelons $s$ la longueur de l’arc de la courbe donnée, il s’agit de déterminer la densité d’une couche double de sorte que l’intégrale

$$\begin{array}[]{cc}\displaystyle\frac{1}{\pi}\int{\mu(s)\frac{\cos(r,x)}{r}}ds&\left(r=\sqrt{(\xi-x)^{2}+(\eta-y)^{2}}\right)\end{array}$$

tende vers une unité donnée de valeurs quand le point $x$, $y$ approche à un point du contour. Cette valeur limite s’écrit

$$\mu(s)+\frac{1}{\pi}\int\limits_{s}{\mu(s)\frac{\cos(r,x)}{r}}ds$$ (2)

Le point $x$, $y$ se trouve sur le contour. Appelons $\tau$ la longueur de l’arc du point $s=0$ jusqu’au point $x$, $y$. Nous avons

$$\frac{{\cos\left({r,x}\right)}}{r}=\varphi\left(s\right),$$

où $\varphi$ est une fonction ayant une valeur finie, si la courbe a une courbure finie, ce que je suppose.

Par ces préliminaires, vous voyez comment on est amené à étudier des équations fonctionnelles de la forme

$$u\left(x\right)+\lambda\int_{0}^{1}{u\left(y\right)f\left({x,y}\right)dy}=v\left(x\right)$$ (3)

où $f\left({x,y}\right)$ est une fonction finie pour les valeurs autre [que] zéro et un, et $\lambda$ est un paramètre. $v(x)$ est une fonction donnée et nous cherchons la valeur de $u(x)$.

Par rapport à l’équation fonctionnelle (3) je suis arrivé au résultat suivant qui me semble d’une grande utilité.

La fonction $u(x)$ qui donne la solution de l’équation (3) est, considérée comme fonction de $\lambda$ égale au quotient de deux fonctions entières

$$u\left(x\right)=\frac{{D_{1}(\lambda)}}{{D(\lambda)}}$$

Il est facile de donner les expressions du / numérateur et du dénominateur de cette fonction.

Introduisons la notation.

$$f\left(\begin{array}[]{ccc}x_{1}&\cdots&x_{n}\\ y_{1}&\cdots&y_{n}\end{array}\right)=\left|\begin{array}[]{cccc}{f\left({x_{1},y_{1}}\right)}&{f\left({x_{1},y_{2}}\right)}&\cdots&{f\left({x_{1},y_{n}}\right)}\\ {f\left({x_{2},y_{1}}\right)}&{f\left({x_{2},y_{2}}\right)}&\cdots&{f\left({x_{2},y_{n}}\right)}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ {f\left({x_{n},y_{1}}\right)}&\cdots&\cdots&{f\left({x_{n},y_{n}}\right)}\end{array}\right|$$

on a

$$D(\lambda)=1+\lambda\int\limits_{0}^{1}{f\left(x,x\right)dx}+\frac{{\lambda^{2}}}{{2!}}\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{f\left({\begin{array}[]{cc}{x_{1}}&{x_{2}}\\ {x_{1}}&{x_{2}}\end{array}}\right)}}dx_{1}dx_{2}\\ +\frac{{\lambda^{3}}}{3!}\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{f\left({\begin{array}[]{ccc}{x_{1}}&{x_{2}}&{x_{3}}\\ {x_{1}}&{x_{2}}&{x_{3}}\end{array}}\right)}}}dx_{1}dx_{2}dx_{3}+\cdots$$ (4)

et

$$D_{1}\left(\lambda\right)=v(x)D\left(\lambda\right)\\ -\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{{\lambda^{n+1}}}{{n!}}\int\limits_{0}^{1}{\cdots\int\limits_{0}^{1}{f\left({\begin{array}[]{cccc}x&x_{1}&\cdots&x_{n}\\ y&x_{1}&\cdots&x_{n}\end{array}}\right)}}}v\left(y\right)dydx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}$$ (5)

En introduisant ces expressions dans l’équation (3) on démontre qu’elles y satisfont formellement. La convergence des séries $D\left(\lambda\right)$ et $D_{1}\left(\lambda\right)$ pour des valeurs quelconques de $\lambda$ est une conséquence im[m]édiate du théorème suivant sur les déterminants.

« La valeur absolue d’un déterminant

$$\begin{array}[]{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\ldots&{a_{1n}}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&\ldots&{a_{nn}}\end{array},$$

dont les éléments sont réels est au plus égale à

$$\prod\limits_{\nu=1}^{n}{\sqrt{a_{\nu 1}^{2}+\cdots a_{\nu 2}^{2}}}.\text{ »}$$

En appelant $f_{0}$ la plus grande valeur absolue de $f(x,y)$, on a évidemment

$$\left|{f\left({\begin{array}[]{ccc}{x_{1}}&\cdots&{x_{n}}\\ {y_{1}}&\cdots&{y_{n}}\\ \end{array}}\right)}\right|\leq\sqrt{n^{n}}f_{0}^{n}.$$

Il s’en suit que les séries (4) et (5) sont convergentes, car $n!$ croît comme $n^{n}$.

Cela suffit pour assurer l’existence d’une fonction $u(x)$ satisfaisant à l’équation fonctionnelle (3) “en général”.

Pour en être sûr pour une valeur de $\lambda$ donnée, soit $\lambda_{0}$, il faut savoir un peu de plus par rapport à la fonction $f(x,y)$, car il peut arriver que $D(\lambda)$ s’annule pour $\lambda=\lambda_{0}$ et que $D(\lambda)$ contient une puissance plus élevée de $\lambda-\lambda_{0}$ que ne le fait $D_{1}(\lambda)$. Mais dans ce cas on peut trouver une solution de l’équation fonctionnelle

$$u\left(x\right)+\lambda_{0}\int{u\left(y\right)f\left({x,y}\right)dy}=0$$ (6)

qui n’est pas égale à zéro identiquement. Mais si on sait de quelque manière que l’équation fonctionnelle (6) n’admet pas de solution, on peut être sûr de ce que $D(\lambda)$ ne peut pas contenir $\lambda-\lambda_{0}$ en une puissance plus élevée que $D_{1}\left(\lambda\right)$.

En effet, on sait que le potentiel d’une double couche portée par une courbe fermée $C$ ne peut pas être nulle à l’intérieur de $C$, à moins que la densité $u(y)$ ne soit nulle. Par conséquent, dans le cas du problème de Dirichlet on peut être sûr de ce que l’équation fonctionnelle a une solution et cette solution s’exprime par la formule $u=\frac{{D_{1}}}{D}$.

Passons maintenant au problème d’abord énoncé. Pour le traiter j’introduis une sorte d’intégrale

$$\left\{{\begin{array}[]{*{20}c}{u=\int\limits_{c}{\bar{u}d\Omega_{11}-\bar{v}d\Omega_{12}}}\\ {v=\int\limits_{c}{\bar{u}d\Omega_{21}-\bar{v}d\Omega_{22}}}\end{array}}\right.$$ (7)

où les $\bar{u},\,\bar{v}$ sont des fonctions données des paramètres qui fixent la position d’un / point sur la courbe d’intégration.

Les $d\Omega_{\lambda\mu}$ sont les différentielles exactes par rapport aux variables $\xi,\eta$ des fonctions

$$\Omega_{\lambda\mu}=\sum\limits_{\nu=1}^{n}{\Omega_{\lambda\mu}^{\left(\nu\right)}\log\left({\xi-x+a_{\nu}\left({\eta-y}\right)}\right)}$$

où les $\alpha_{\nu}$ sont les racines de l’équation

$$\left|\begin{array}[]{lr}A_{11}+2B_{11}\alpha+C_{11}\alpha^{2}&A_{12}+2B_{12}\alpha+C_{12}\alpha^{2}\\ A_{21}+2B_{21}\alpha+C_{21}\alpha^{2}&A_{22}+2B_{22}\alpha+C_{22}\alpha^{2}\end{array}\right|=0.$$

Je suppose que ces racines soient complexes. De plus je suppose que $A_{12}=A_{21}$. Dans ce cas on peut d’une infinité de manières former des expressions linéaires $t_{\lambda\mu}$ des dérivées premières des fonctions $u$, $v$ de sorte qu’on ait identiquement

$$\Delta_{11}u+\Delta_{12}v=\frac{{\partial t_{11}}}{{\partial x}}+\frac{{\partial t_{12}}}{{\partial y}}$$

$$\Delta_{21}u+\Delta_{22}v=\frac{{\partial t_{21}}}{{\partial x}}+\frac{{\partial t_{22}}}{{\partial y}}.$$

Parmi ces divers]e[s systèmes d’expressions $t_{\lambda\mu}$ il existe un, et en général un seul, qui jouit de la propriété que les expressions

$${\rm T}_{1} =t_{11}\cos\left({x,\,x}\right)+t_{12}\cos\left({x,\,y}\right)$$

$${\rm T}_{2} =t_{21}\cos\left({x,\,x}\right)+t_{22}\cos\left({x,\,y}\right)$$

soit continues dans tout le plan si $u$ et $v$ sont les fonctions définies par la formule (7).

Ce résultat nous permet de démontrer que les fonctions $u$, $v$ ne peuvent pas être égale à zéro à l’intérieur de $C$ à moins qu’on ait $\bar{u}=\bar{v}=0$.

En effet supposons $u=v=0$ à l’intérieur de $C$. Alors ${\rm T}_{1},\,{\rm T}_{2}$ sont aussi nuls à l’intérieur de $C$ et parce qu’ils sont continues leurs valeurs limites quand le point $(x,y)$ approche d’un point de $C$ en restant extérieur à $C$ sont aussi nulles. Mais alors il est facile à démontrer qu’en employant des méthodes usuelles dans la théorie de l’élasticité, qu’elles sont nulles dans tout le plan. Cela entraîne la conséquence que les fonctions $u$, $v$ aussi sont nulles et par conséquent on a aussi $\bar{u}$ et $\bar{v}$ égales à zéro.

Cela suffit pour nous assurer de la légitimité de l’application de la méthode proposé[e] pour l’équation (3) / au problème qui nous occupe maintenant.

Car si on a choisi les coefficients $A_{\lambda\mu}$ d’une manière convenable les valeurs limites des fonctions $u$, $v$ quand le point approche d’un point de $C$ en restant intérieur à $C$ seront

$$\lim u =\bar{u}_{0}+\int_{C}{\bar{u}dA_{11}+\bar{v}dA_{12}}$$

$$\lim v =\bar{v}_{0}+\int_{C}{\bar{u}dA_{21}+\bar{v}dA_{22}}.$$

On a ainsi un système d’équations fonctionnelles de la forme

$$u_{1}\left(x\right)+\int\limits_{0}^{1}{u_{1}(y)f_{11}\left({x,\,y}\right)+u_{2}(y)f_{12}(x,y)dy} =v_{1}(x)$$

$$u_{2}\left(x\right)+\int\limits_{0}^{1}{u_{1}(y)f_{21}\left({x,\,y}\right)+u_{2}(y)f_{22}(x,y)dy} =v_{2}(x).$$

Mais ce système se ramène aisément à l’équation fonctionnelle (3). Car définissons une fonction $F(x,y)$ par les conditions

$$\begin{array}[]{lcl}F(x,y)=f_{11}(x,y)&\text{ quand }&0<x<1,0<y<1\\ F(x,y)=f_{12}(x,y)&\text{---}&0<x<1,1<y<2\\ F(x,y)=f_{21}(x,y)&\text{---}&1<x<2,0<y<1\\ F(x,y)=f_{22}(x,y)&\text{---}&1<x<2,1<y<2\end{array}$$

Alors l’équation fonctionnelle

$$u(x)+\int\limits_{0}^{2}F(x,y)u(y)dy=v(x)$$

est évidemment équivalente au système (8), si

$$\begin{array}[]{lcl}v(x)=v_{1}(x)&\text{ quand }&0<x<1\\ v(x)=v_{2}(x)&\text{---}&1<x<2.\end{array}$$

Le problème analogue au problème de Dirichlet pour les systèmes d’équations différentielles se trouve ainsi résolu dans un cas assez général.

J’ai cherché à étendre ces résultats pour le cas de trois variables indépendantes mais ces recherches sont moins faciles car la fonction jouant le rôle de $f(x,y)$ devient infinie dans le champ d’intégration. Cependant j’espère que les difficultés ne soient pas insurmontables.

Veuillez recevoir Monsieur l’expression de mes sentiments distingués.

Ivar Fredholm

Maître de conférences à l’Université de Stockholm

ALS 10p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 4.12.2024 19:06"

Notes

• 1 Variante : “Stockholm 15 22 Décembre 1899”.
• 2 Fredholm 1899. Cette note est effectivement présentée par Poincaré. Les résultats qui sont exposés dans la suite de la lettre sont publiés dans Fredholm (1900, 1902b, 1902a, 1903).
• 3 Les résultats qui suivent sont pour certains d’entre eux déjà exposés dans une lettre adressée par Fredholm à Mittag-Leffler le 8 août 1899, alors qu’il rentrait d’un séjour à Paris, et dont un extrait a été traduite par Zeilon (1930, VIII–IX): “Je m’occupe actuellement de certaines recherches d’une assez grande importance pour tous ces problèmes de la physique mathématique qui sont analogues au problème de Dirichlet. Comme certains des résultats sont d’intérêt aussi du point de vue mathématique, vous me permettrez d’en communiquer quelques uns ici. Soit $f(x,y)$ une fonction continue des variables réelles $x$, $y$, définie par exemple pour des $x$, $y$, situés entre 0 et 1. Le problème que je traite est, dans sa forme la plus simple, celui-ci : Trouver une fonction $\varphi(x)$ qui satisfasse à “l’équation intégrale” $$\varphi(x)+\lambda\int_{0}^{1}{f\left({x,y}\right)\varphi(y)dy=\psi(x)},$$ où $\lambda$ est un paramètre arbitraire et $\psi(x)$ une fonction donnée à l’avance. On peut prouver que la solution de cette équation existe en général, et qu’elle est le rapport de deux séries entières en l, toujours convergentes. Ces séries de puissances peuvent se représenter d’une façon assez élégante. Le dénominateur, par exemple, est une expression de la forme $$D=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{{\lambda^{n}}}{{n!}}\int_{0}^{1}{\cdots\int_{0}^{1}{f\left({x_{1}\cdots x_{n}}\right)}}dx_{1}\cdots dx_{n}},$$ $$f(x_{1}\,\cdots\,x_{n})=\left|\begin{array}[]{cccc}{f\left({x_{1},x_{1}}\right)}&{f\left({x_{1},x_{2}}\right)}&\cdots&{f\left({x_{1},x_{n}}\right)}\\ {f\left({x_{2},x_{1}}\right)}&{f\left({x_{2},x_{2}}\right)}&\cdots&{f\left({x_{2},x_{n}}\right)}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ {f\left({x_{n},x_{1}}\right)}&{f\left({x_{n},x_{2}}\right)}&\cdots&{f\left({x_{n},x_{n}}\right)}\end{array}\right|,$$ La convergence peut être prouvée à l’aide d’un théorème sur les déterminants, que je n’ai vu cité nulle part, et qui s’énonce de la manière suivante $$\left|\begin{array}[]{ccc}{a_{11}}&\cdots&{a_{1n}}\\ \cdots&\cdots&\cdots\\ {a_{n1}}&\cdots&{a_{nn}}\end{array}\right|<\sqrt{a_{11}^{2}+a_{12}^{2}+\cdots a_{1n}^{2}}\sqrt{a_{21}^{2}+a_{22}^{2}+\cdots a_{2n}^{2}}\cdots\sqrt{a_{n1}^{2}+a_{n2}^{2}+\cdots a_{nn}^{2}}.$$ Si donc $f$ est la valeur maxima du module de $f\left({x,y}\right)$, il s’ensuit évidemment que, selon le théorème sur les déterminants, le coefficient de $\lambda^{n}$ est inférieur à $$\frac{f^{n}\sqrt{n^{n}}}{n!}.$$ Mais la limite de la racine $n^{\text{e}}$ de cette expression est égale à zéro, et la série $D$ est une fonction entière. Je n’ai pas encore réussi à traiter complètement le cas où $f(x,y)$ devient infini.”
• 4 Poincaré avait étudié en 1895 la méthode de Neumann pour la solution du problème de Dirichlet (Poincaré 1895, 1896). Elle est “fondée sur les propriétés des doubles couches” (Petiau, dir., 1954, 202) et a pour but de “trouver une fonction harmonique dans un certain domaine prenant des valeurs données sur la frontière de ce domaine” (ibid.). Etant donnée une surface fermée, une “certaine quantité de matière attirante” disposée sur cette surface engendrera un potentiel qui peut s’exprimer sous la forme $$W=\int{\frac{{\mu^{\prime}d\omega^{\prime}}}{r}}$$ où $\mu^{\prime}$ est la densité de matière attirante et $d\omega^{\prime}$ la mesure superficielle. “C’est ce qu’on appelle le potentiel de simple couche”. L’expression d’un potentiel d’une double couche s’exprime sous la forme $$W=\int{\mu^{\prime}d\sigma^{\prime}}$$ où “$d\sigma^{\prime}$ est l’angle solide sous lequel l’élément $d\omega^{\prime}$ est vu du point” où l’on calcule le potentiel et $\mu^{\prime}$ la densité de la double couche. Poincaré justifie l’expression “potentiel d’une double couche” en remarquant qu’on “peut le regarder comme le potentiel dû à deux couches attirantes infiniment rapprochées l’une de l’autre et telle qu’en deux points correspondants de ces deux couches les densités soient égales et de signe contraire et d’ailleurs très grandes” (Petiau, dir., 1954, 204). Dans son cours consacré au magnétisme, Poincaré (1890, 1901), précise cette idée en étudiant un cas particulier simple de potentiel de double couche, le potentiel d’un feuillet magnétique (Poincaré 1901, 88–89).
• 5 La quantité $D(\lambda)$ est désignée sous le nom de “déterminant de l’équation fonctionnelle”. Fredholm considère que son équation “est un cas limite de la théorie des équations linéaires ; aussi retrouve-t-on dans la théorie […] tous les résultats de la théorie des déterminants”. En particulier, la formation de $D(\lambda)$ est une généralisation de la notion de déterminant. En termes modernes, les opérateurs de Fredholm sont des opérateurs compacts. Il sont donc limites d’une suite convergente d’opérateurs de dimension finie.
• 6 Comme le montre sa lettre adressée à Mittag-Leffler (voir la note en amont) il semble que Fredholm avait obtenu une démonstration personnelle de ce théorème, fondée sur des techniques d’orthogonalisation (Zeilon, 1955). Ce théorème avait déjà été montré par Hadamard (1893); Fréchet et al. (1968, 239–245).
• 7 On retrouve la célèbre alternative de Fredholm : ou bien l’équation non homogène (3) avec $\lambda=\lambda_{0}$ possède une et une seule solution quelque soit $v$, ou bien l’équation homogène (6) possède des solutions
• 8 Fredholm parviendra à généraliser ses méthodes au cas où le noyau $f(x,y)$ devient infini en se restreignant au cas où $(x-y)^{\alpha}f(x,y)$ reste fini et intégrable, $\alpha$ étant inférieur à l’unité (Fredholm, 1902a, 1903); voir les notes de la lettre de Mittag-Leffler à Poincaré, 17.02.1909 (§ 1-1-241).