1-1-241. Gösta Mittag-Leffler à H. Poincaré

Djursholm le 17 Février 1909

Mon cher ami,

Vous avez publié dans les Comptes rendus deux articles fort intéressants sur les méthodes de Fredholm. M. Fredholm ne parvient pas à démontrer vos résultats. Il s’est imaginé que des théorèmes dans ce genre devaient exister mais il n’est jamais parvenu à les démontrer.

J’ose donc vous proposer de m’écrire un article sur ce sujet en forme d’une lettre à moi ou sous quelle autre forme que vous veuillez choisir.

Il paraît que la commission Nobel s’intéresse à la télégraphie sans fil. Mais nous verrons.

Dans l’espoir que ces lignes vous trouveront en bonne santé.

Tout à vous.

Votre ami dévoué

TLX 1p. IML 4523, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "15.06.2021 13:32"

Notes

• 1 Poincaré 1908, et 1909.
• 2 Fredholm (1903) s’intéresse à l’équation $$\varphi(x)+\int_{0}^{1}f(x,y)\varphi(y)dy=\phi(x).$$ Fredholm introduit formellement le déterminant de l’équation intégrale comme généralisation du déterminant d’un système d’équations linéaires. Il montre que si f est finie et intégrable, celui-ci est défini. Fredholm montre alors que la transformation $S_{f}$ définie par $$S_{f}(\varphi)(x)=\varphi(x)+\int_{0}^{1}f(x,y)\varphi(y)dy$$ est inversible si le déterminant est non nul. Fredholm termine son article en étudiant “le cas où $f\left({x,y}\right)$ devient infini de telle manière que $(x-y)^{\alpha}f(x,y)$ reste fini”, $\alpha$ restant un nombre inférieur à l’infini. Il montre que dans ce cas en itérant le noyau, on obtient un noyau qui reste fini. Poincaré reprend l’analyse cette analyse en écrivant l’équation de Fredholm sous la forme $$\varphi(x)=\lambda\int_{0}^{1}{f\left({x,y}\right)\varphi(y)}dy+\phi(x).$$ La solution de Fredholm s’écrit alors $$\varphi(x)=\phi(x)+\lambda\int_{0}^{1}\phi(y)\frac{N(\lambda,x,y)}{D(\lambda)}dy$$ où $N$ et $D$ s’expriment en fonction du déterminant de Fredholm. Poincaré étudie la formation de la fonction méromorphe $N(\lambda)/D(\lambda)$ quand le noyau devient infini pour $x=y$ de la même façon que $(x-y)^{\alpha}$ où $\alpha<(n-1)/n$ pour un certain $n$.
• 3 Poincaré 1910a, 1910b; Drach 1934, 555–582.
• 4 Voir §§ 1-1-239, 1-1-240. Poincaré fera une conférence sur les équations de Hertz en avril 1909 à Göttingen, à l’invitation de Hilbert; voir Walter (2019). Le prix Nobel de physique de 1909 sera accordé à Guglielmo Marconi et Karl Ferdinand Braun pour leurs “contributions au développement de la télégraphie sans fil”.