7-3-16. H. Poincaré: Rapport sur la thèse d’Adrien Féraud

[On or before 20.10.1896]

Rapport sur la Thèse présentée par M. Féraud et ayant pour titre

Sur la valeur approchée des coefficients d’ordre élevé dans les Développements en Séries.

Les recherches déjà nombreuses qui se rapportent au sujet traité par M. Féraud ont leur point de départ dans le célèbre mémoire de M. Darboux sur l’approximation des fonctions de très grands nombres. M. Flamme a appliqué ce procédé à la fonction perturbatrice.

Depuis que M. Poincaré a étendu la méthode au cas de deux variables, la question a encore été l’objet des travaux de MM Coculesco et Hamy.

Dans la première partie de son travail, M. Féraud, après avoir rappelé les principes fondamentaux de la méthode, montre comment on peut évaluer approximativement les coefficients d’une fonction $f(z)$ ayant des singularités données; ce procédé est connu mais l’auteur y introduit un perfectionnement en introduisant une fonction auxiliaire $\phi(t)$, et en fait une étude approfondie en l’appliquant à quelques cas nouveaux. Dans la seconde partie, l’auteur aborde l’étude, plus importante au point de vue de l’astronomie, des fonctions de deux variables.

Pour trouver le coëfficient du terme $x^{m}y^{n}$ où :

$$m=ap+b,\qquad n=cp+d$$

où $a$, $b$, $c$, $d$ sont des entiers fixes et $p$ un entier variable pouvant devenir très grand, M. Poincaré introduit une fonction auxiliaire $\Phi(z)$ qu’il exprime par une intégrale simple.

M. Féraud introduit une fonction tout à fait analogue mais il lui conserve la forme d’une intégrale double. Cette intégrale double se ramène immédiatement à une somme d’intégrales simples, par l’application de la méthode des résidus de Cauchy, généralisée par M. Poincaré dans son mémoire sur les résidus des intégrales doubles.

L’intégrale simple de M. Poincaré se trouve ainsi décomposée en une somme d’autres intégrales simples qui en sont comme les éléments, et on pourrait profiter de cette décomposition pour en alléger la discussion. C’est là le point le plus original de la thèse de M. Féraud. Pour bien faire saisir le caractère de sa méthode, il l’applique d’abord au cas simple d’une fonction rationnelle de deux variables. Ce cas est traité complètement.

Dans la troisième partie, M. Féraud applique sa méthode au développement de la fonction perturbatrice et il examine d’abord le cas où les deux orbites sont circulaires et l’inclinaison quelconque. Dans ce cas la fonction sous le signe d’intégrale double est encore algébrique en $x$ et $y$ mais elle n’est plus rationnelle; le problème est donc un peu plus compliqué; la discussion surtout présente des difficultés M. Féraud examine complètement par sa méthode les très nombreuses hypothèses qui peuvent se présenter, et retrouve par une voie nouvelle les résultats de M. Hamy.

Dans la quatrième partie, M. Féraud étudie le cas où l’inclinaison est nulle, une des orbites circulaire et l’autre elliptique. La fonction sous le signe est alors transcendante. L’auteur retrouve les résultats découverts par M. Hamy par une méthode différente et il traite d’ailleurs le cas où l’orbite elliptique enveloppe l’orbite circulaire, cas qui n’avait pas encore été étudié jusqu’ici.

Je signale également l’emploi que fait M. Féraud d’une fonction auxiliaire liée à sa fonction $\phi(t)$ par une relation simple et qui lui donne l’occasion de considérations ingénieuses.

En résumé, M. Féraud semble avoir perfectionné en plusieurs points importants une théorie difficile et avoir montré de remarquables qualités d’esprit. Nous estimons en conséquence qu’il y a lieu de l’autoriser à soutenir sa thèse.

Poincaré  F. Tisserand  Appell

ADS 4p. AJ16 5536, Archives nationales françaises.

Time-stamp: "11.10.2026 21:15"

Notes

• 1 The manuscript is annotated in an unknown hand: “23 mars 1897”, which is the date of Adrien Féraud’s thesis defense at the Paris Faculty of Science. The pre-defense report is written in Poincaré’s hand, and is signed by Poincaré, Tisserand, and Appell. In light of the fact that Tisserand died on 20 October, 1896, this would be the latest possible date for the report’s completion. A few weeks later, on 10 November, 1896, the Dean of the Paris Faculty of Sciences, Gaston Darboux approved Féraud’s thesis for defense (Féraud, 1897).
• 2 Adrien Féraud defended his Ph.D. thesis at the Paris Faculty of Sciences on 23 March 1897 before a jury composed of Paul Appell (president), Henri Andoyer and Poincaré (Féraud, 1897). For Appell’s defense report, see (§ 7-4-2). Ancien élève de l’École normale supérieure (promotion de 1886), Adrien Féraud (1866–1905) fut délégué dans les fonctions d’aide-astronome à l’Observatoire de Bordeaux depuis 1892. Le 3 juin 1897, peu de temps après sa soutenance de thèse, Féraud fut nommé astronome adjoint. Par la suite, Féraud travailla sur la stabilité de l’équilibre des masses fluides en rotation, et sur la théorie des erreurs (Féraud, 1902, 1903). À l’Observatoire, Féraud était au service de l’équatorial; lors de l’hiver 1903–1904 il attrapa une grippe dont il ne s’est pas remit (Véron et al., 2016).
• 3 Darboux (1878a, b).
• 4 Jean-Baptiste Flamme (1856–1914) defended a thesis in Paris on this topic (Flamme, 1887); Poincaré made use of his results in his Méthodes nouvelles de la mécanique céleste (1892, 269). Beginning in 1895, Flamme taught applied mathematics at the Lyon Faculty of Sciences (Véron et al., 2016).
• 5 Nicolae Coculescu (1866–1952) and Maurice Hamy (1861–1936).
• 6 Poincaré (1886, 1887). In his Leçons, Poincaré introduced Féraud’s double integral (Poincaré, 1907, 160).