4-43-1. Camille Jordan à H. Poincaré

Paris, le 27 janvier 1880

mines – inspection des carrières.

Bureau de l’Ingénieur – Rue de Rennes, 64

Ouvert tous les jours de midi à quatre heures.

Mon cher camarade,

Les mémoires de Korkine et Zolotareff se trouvent dans les Mathematische Annalen, T. 6 et 11; ils sont à mon avis extrêmement intéressants, et vous ferez bien de les lire. Si vous n’avez pas de moyen facile de vous les procurer, je pourrai vous les prêter.

Je ne crois pas que rien n’ait été fait sur la composition des formes quadratiques à plus de 2 variables sauf pour celles qu’Hermite a considérées, et qui ne sont au fond que des formes binaires. Je me souviens qu’Hermite, qui doit s’y connaître, m’a dit dans le temps, qu’une généralisation de ses résultats lui semblait impossible, et m’a dissuadé de la chercher, conseil que j’ai suivi.

Les questions que vous avez traitées et dont vous me donnez les énoncés dans votre lettre, sont certainement intéressantes, surtout si vos solutions permettent, non seulement de trouver pour une forme une fois donnée, d’assigner le groupe des substitutions qui la reproduisent à un facteur près, mais de former, pour un nombre donné de variables, ces divers groupes, avec les formes correspondantes. Cette question est assez à l’ordre du jour en ce moment. M. Klein y a consacré de nombreux mémoires dans les Mathematische Annalen. Mais il se borne aux groupes d’un nombre fini de substitutions entre deux variables. Il trouve que ces groupes se réduisent à ceux qui superposent à lui-même une pyramide régulière, une double pyramide régulière, ou l’un des polyèdres réguliers. Quant aux formes binaires correspondantes, elles se réduisent (au moins pour les groupes des polyèdres réguliers) aux fonctions entières d’un petit nombre de formes indépendantes. De mon côté, j’ai réussi à former les groupes finis pour trois variables, dans le Journal de Borchardt de l’année dernière; mais je ne fais rien sur les formes correspondantes, non plus que sur les groupes où le nombre des substitutions serait infini.

Qu’entendez-vous par vos réduites pour une forme ternaire, par exemple? Votre lettre ne me donne pas d’éclaircissement à cet égard. Ces réduites ne forment-elles toujours qu’une seule période ? Dans la méthode de réduction arithmétique que donne Hermite pour les formes quadratiques à plus de 2 variables, il n’en est pas ainsi, chaque réduite étant en général contigüe à plusieurs autres.

Veuillez agréer, mon cher camarade, l’expression de mes sentiments dévoués.

C. Jordan

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017. Transcrite et annotée par Dugac 1989, 84–85.

Time-stamp: "16.02.2023 15:37"

Notes

• 1 Korkine and Zolotarev (1873, 1877).
• 2 Poincaré referred to the first article by Korkine and Zolotarev in a note presented by Hermite to the Paris Academy (Poincaré, 1880); the note summarized the article that appeared the following year (Poincaré, 1881).
• 3 Hermite (1851), reed. Picard (1905, 164–192); Hermite (1854c, a, b), reed. Picard (1905, 193–263).
• 4 Klein (1876), reed. Fricke and Vermeil (1922, 275–301); Klein (1877), reed. Fricke and Vermeil (1922, 320–380).
• 5 Jordan (1878), reed. Dieudonné (1961, 13–139).