4-42-2. H. Poincaré à Felix Klein

15 juin [1881]

Monsieur,

Votre lettre me prouve que vous aviez aperçu avant moi quelques-uns des résultats que j’ai obtenus dans la théorie des fonctions fuchsiennes. Je n’en suis nullement étonné; car je sais combien vous êtes versé dans la connaissance de la géométrie non-euclidienne qui est la clef véritable du problème qui nous occupe.

Je vous rendrai justice à cet égard quand je publierai mes résultats; j’espère pouvoir me procurer d’ici là les tomes 14, 15, et 16 des Mathematische Annalen qui n’existent pas à la bibliothèque universitaire de Caen.

Quant à la communication que vous avez faite au Polytechnicum de Münich, je vous demanderai de vouloir bien me donner quelques détails à ce sujet, afin que je puisse ajouter à mon mémoire une note vous rendant pleine justice; car sans doute je ne pourrais me procurer directement votre travail.

Comme je ne pourrai sans doute me procurer immédiatement les Mathematische Annalen, je vous prierais aussi de vouloir bien me donner quelques explications sur quelques points de votre lettre.

Vous parlez de

Die elliptischen Modulfunktionen.

Pourquoi ce pluriel ? Si la fonction modulaire est le carré du module exprimé en fonction du rapport des périodes, il n’y en a qu’une; il faut donc entendre autrement l’expression Modulfunktionen.

Que voulez-vous dire par ces fonctions algébriques qui sont susceptibles d’être représentées par des fonctions modulaires ? Qu’est-ce aussi que la

Theorie der Fundamentalpolygone

Je vous demanderai aussi de m’éclairer sur les points suivants :

Avez-vous trouvé tous les Kreisbogenpolygone qui donnent naissance à un groupe discontinu ? Avez-vous démontré l’existence des fonctions qui correspondent à chaque groupe discontinu ?

J’ai écrit à M. Picard pour lui communiquer votre remarque.

Je me félicite, Monsieur, de l’occasion qui me met en rapport avec vous, j’ai pris la liberté de vous écrire en français ; car vous me dites que vous connaissez cette langue.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma respectueuse considération,

Poincaré

ALS 3p. Klein 11, 352, Handschriftenabteilung, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen. Previously transcribed in Nörlund (1923, 100), and annotated in Dugac (1989, 91). English translation in (§ 7-2-47).

Time-stamp: "28.10.2026 11:17"

Notes

• 1 The manuscript is annotated in an unknown hand: “Caen 1881”.
• 2 Klein, in his letter to Poincaré of 12 June 1881, actually mentioned his publications on elliptic functions in volumes 14, 15, and 17 of Mathematische Annalen (§ 4-42-1).
• 3 In his letter to Poincaré of 12 June 1881 (§ 4-42-1), Klein mentioned the unpublished lectures he delivered at Munich Polytechnic in the summer of 1879. Klein provided a copy of student notes of lectures on “Modular functions and overview of the theory of elliptical functions” to Georges Brunel, who mentioned them in his first letter to Poincaré; see Brunel to Poincaré, ca. June 1881 (§ 4-12-1).
• 4 In his response, Klein acknowledged that he had shown only that “sehr viel” discontinuous groups arise from circular polygons; see Klein to Poincaré, 19 June 1881 (§ 4-42-3).