4-44-6. H. Poincaré à Felix Klein

Caen, le 27 Juin 1881

Monsieur,

Au moment où j’ai reçu votre carte, j’allais précisément vous écrire pour vous remercier de votre envoi et vous en annoncer l’arrivée. S’il a été retardé c’est par suite d’une erreur de la poste qui l’a envoyé d’abord à la Sorbonne, puis au Collège de France, bien que l’adresse eût été parfaitement bien mise.

En ce qui concerne M. Fuchs et la dénomination de fonctions fuchsiennes ; il est clair que j’aurais pris une autre dénomination si j’avais connu le travail de M. Schwarz ; mais je ne l’ai connu que par votre lettre, après la publication de mes résultats de sorte que je ne peux plus changer maintenant le nom que j’ai donné à ces fonctions sans manquer d’égards envers M. Fuchs.

J’ai commencé la lecture de vos brochures qui m’ont vivement intéressé, principalement celle qui a pour titre «  Ueber elliptische Modulfunktionen  ». C’est au sujet de cette dernière que je vous demanderai la permission de vous adresser quelques questions.

1° Avez-vous déterminé les Fundamentalpolygone de tous les Untergruppen que vous appelez Congruenzgruppen et en particulier de ceux-ci :

$$\begin{array}[]{cc}\alpha\equiv\delta\equiv 1&\beta\equiv\gamma\mod n.\end{array}$$

2° Dans mon mémoire sur les fonctions fuchsiennes, j’ai partagé les groupes fuchsiens d’après divers principes de classifications et entre autres d’après la valeur d’un nombre que j’appelle leur genre. De même vous partagez les Untergruppen d’après un nombre que vous appelez leur Geschlecht. Le genre (tel que je l’entends) et le Geschlecht sont-ils un seul et même nombre ? Je n’ai pu le savoir, parce que je ne sais pas ce que c’est que le Geschlecht im Sinne der Analysis situs. Je vois seulement que ces nombres s’annulent à la fois. Auriez-vous donc l’obligeance de me dire ce que c’est que ce Geschlecht im Sinne der Analysis situs ou, si cette définition est trop longue pour être donnée dans une lettre, dans quel ouvrage je pourrais la trouver.

Dans votre dernière lettre, vous me demandiez si je me suis renfermé dans le cas particulier où «  Die Gruppe der linearen Transformationen ist dadurch particularisirt, dass sie in einer doppelt so grossen Gruppe von Operationen enthalten ist, welche neben linearen Transformationen auch Spiegelungen umfasst   ». Je ne me suis pas renfermé dans ce cas, mais j’ai supposé que toutes les transformations linéaires conservaient un certain cercle fondamental. Je pense d’ailleurs pouvoir aborder par une méthode analogue le cas le plus général.

A ce propos, il me semble que tous les Untergruppen relatifs aux fonctions modulaires ne rentrent pas dans ce cas spécial.

Au sujet de ce groupe discontinu dont vous me parlez et que l’on obtient par des Spiegelungen et par la Vervielfältigung d’un polygone limité par des arcs de cercle se touchant deux à deux.

Il me semble qu’il y a une condition supplémentaire dont vous n’avez pas parlé bien qu’elle ne vous ait sans doute pas échappé ; deux arcs de cercle quelconques prolongés, ne doivent pas se couper.

Serait-ce abuser de votre complaisance que de vous poser encore une question.

Vous dites: «  in diesem Falle ist die Existenz der Funktion durch Arbeiten von Schwarz sicher gestellt  », et vous ajoutez: «  sofern man nicht auf die allgemeinen Riemann’schen Principien rekurriren will  ». Qu’entendez-vous par là.

J’ai écrit dernièrement à M. Hermite ; je lui ai fait part succinctement du contenu de vos lettres, et je lui ai envoyé les compliments dont vous m’aviez chargé pour lui.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma reconnaissance et de mon respect,

Poincaré

ALS 4p. Nachlass Klein 11, 354, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen. Transcribed in Nörlund (1923, 104–105); Dugac (1989, 95–96). Translated to English in (§ 7-2-51) and Saint-Gervais (2016).

Time-stamp: " 8.08.2022 17:49"

Notes

• 1 See Klein to Poincaré, 25.06.1881 (§ 4-44-5).
• 2 Klein (1880), reed. Fricke et al. (1923, 169–178).
• 3 Klein was among the first to use the term Geschlecht (genus) to characterize surfaces, including Riemann surfaces (Lê, 2020).