4-44-8. H. Poincaré à Felix Klein

Caen, 5 Juillet 1881

Monsieur,

J’ai reçu votre lettre que j’ai lue avec le plus vif intérêt. Je vous demande mille pardons de la question que je vous ai posée au sujet du Geschlecht im Sinne der Analysis Situs. J’aurais pu vous éviter la peine de m’y répondre, puisque je trouvais l’explication à la page suivante de votre mémoire.

Vous vous rappelez sans doute que dans une de mes dernières lettres, je vous demandais l’autorisation d’en citer une phrase dans une communication où je me proposais de généraliser vos résultats. Vous ne m’avez pas répondu à ce sujet et j’ai pris votre silence pour un acquiescement. J’ai fait cette communication en deux fois, dans les séances du 27 Juin et du 4 Juillet.

Vous trouverez que nous nous sommes rencontrés sur quelques points. Mais la citation que j’ai faite de votre phrase vous sera, je pense, une garantie suffisante.

Permettez-moi, Monsieur, encore une question: où trouverai-je les travaux de MM Schwarz et Weierstrass dont vous me parlez ; d’abord au sujet de ce théorème que:

«  Man kann immer die Halbebene so auf ein Kreisbogenpolygon abbilden:

dass die Punkte I, II, III, IV, V welche den 1, 2, 3, 4, 5 auf der Begränzung der Halbebene entsprechen, beliebige lage haben  »

Ce théorème ne m’était pas inconnu, car je l’ai démontré dans ma communication du 23 Mai. Mais où les trouverai-je dans les travaux de mes devanciers. Est-ce au Tome 70 de Crelle ? Où trouverai-je aussi les développements dont vous me parlez dans la phrase suivante :

«  Demgegenüber haben Weierstrass und Schwarz beider von mir berührten Frage der Abbildung von Keisbogenpolygon wirkliche Bestimmungen der in Betracht kommenden Constanten durch convergente prozesse gegeben  ».

Le théorème que vous me dites avoir découvert m’a beaucoup intéressé. Il est clair que, comme vous me le dites, votre résultat contient comme cas particulier, «  alle meine Existenzbeweise  ». Mais il arrive après.

J’arrive à votre remarque relative aux fonctions abéliennes. Quand j’ai parlé de $4p+2$ constantes, il ne s’agissait pas du nombre des modules. J’ai dit ceci : «  Une relation algébrique de genre $p$ peut toujours être ramenée au degré $p+1$. Une relation de degré $p+1$ et de genre $p$ dépend de $4p+2$ paramètres ; car une relation générale de degré $p+1$ dépend de

$$\frac{(p+1)(p+4)}{2}\text{ paramètres.}$$

Mais il y a:

$$\frac{p(p-1)}{2}-p\text{ points doubles.}$$

Il reste donc $4p+2$ paramètres indépendants. J’ai ainsi, non le nombre des modules, mais une limite supérieure de ce nombre, ce qui me suffisait pour mon objet.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma respectueuse considération,

Poincaré

ALS 4p. Nachlass Klein 11, 355, Handschriftenabteilung, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen. Transcribed in Nörlund (1923, 109–110) and Dugac (1989, 100–101). Translated to English (§ 7-2-53).

Time-stamp: "28.04.2021 15:57"

Notes

• 1 Poincaré (1881), reedited in Nörlund and Lebon (1916, 12–15).