4-44-17. H. Poincaré à Felix Klein

[28.03.1882]

Monsieur,

Vous avez eu dernièrement la bonté de faire insérer aux Mathematische Annalen mon travail sur les fonctions uniformes qui se reproduisent par des substitutions linéaires et vous l’avez fait suivre d’une note où vous exposez les raisons qui vous font trouver peu convenables les noms que j’ai donnés à ces transcendantes. Permettez-moi de vous adresser quelques lignes pour défendre mes dénominations, que je n’ai pas choisies au hasard.

Si j’ai cru devoir donner aux fonctions nouvelles le nom de M. Fuchs, ce n’est pas que je méconnaisse la valeur des travaux de M. Schwarz et des vôtres; je suis le premier, au contraire, à en apprécier la haute importance. Mais il ne m’était pas possible d’oublier les découvertes si remarquables que le savant professeur d’Heidelberg a publiées dans le Journal de Crelle. Elles sont le fondement de la théorie des équations linéaires et, sans elles, je n’aurais pu aborder l’étude de mes transcendantes qui se lient si directement à cette théorie. Dans ses premiers travaux, M. Fuchs se place, il est vrai, à un point de vue un peu différent du mien et ne se préoccupe ni de la discontinuité des groupes, ni de l’uniformité des fonctions. Mais M. Schwarz, dans ses Mémoires des tomes 70 et 74 du Journal de Crelle ne s’en préoccupe pas non plus ; il en dit quelques mots dans un cas très particulier, dans le mémoire du tome 75 que j’ai cité dans ma note. C’est là seulement qu’il se trouve «  Auf dem Gebiete des fonctions fuchsiennes  ». Dans vos belles recherches sur les fonctions modulaires, votre façon d’envisager les choses différait peu de la mienne, mais vous aviez plutôt en vue alors l’étude des fonctions elliptiques que celle des équations linéaires. Quant à M. Fuchs, dans ses mémoires des tomes 83 et 89 du Journal de Crelle, il s’est élevé à un point de vue nouveau et à mis en lumière le lien étroit qui unit la théorie des équations différentielles à celle de certaines fonctions uniformes. Ce fut la lecture de ces mémoires qui devint le point de départ de mes recherches.

En ce qui concerne les fonctions kleinéennes, j’aurais cru commettre une injustice, si je leur avais donné un autre nom que le vôtre. C’est M. Schottky qui a découvert la figure qui faisait l’objet de votre lettre, mais c’est vous qui avez: «  ihre principielle Wichtigkeit betont  », comme vous le dites à la fin de votre savant travail : «  Ueber eindeutige Funktionen mit linearen Transformationen in sich  ».

Quant à ce que vous dites de Riemann, je ne puis qu’y souscrire pleinement. C’était un de ces génies qui renouvellent si bien la face de la science qu’ils impriment leur cachet, non seulement sur les œuvres de leurs élèves immédiats, mais sur celles de tous leurs successeurs pendant une longue suite d’années. Riemann a créé une théorie nouvelle des fonctions, et il sera toujours possible d’y retrouver le germe de tout ce qui s’est fait et se fera après lui en analyse mathématique.

Veuillez agréer, Monsieur, avec mes excuses pour la longueur de ma lettre, l’expression de ma considération la plus distinguée,

Poincaré

ALSX 3p. Académie des sciences de Paris (1955, 277–279). Partially transcribed in Poincaré (1882b), reedited in Nörlund (1923, 118–119) and in Dugac (1989, 108–109). See also the English translation (§ 7-2-62).

Time-stamp: " 8.08.2022 17:49"

Notes

• 1 The manuscript, destined for publication in Mathematische Annalen 20, accompanied Poincaré’s letter to Klein of 28 March 1882 (§ 4-44-16). It bears several annotations by Klein, all of which are markup for publication; these are ignored here.
• 2 Poincaré (1882a).
• 3 Klein (1882), reedited in Fricke et al. (1923, 622–626).