4-44-24. H. Poincaré à Felix Klein

Paris 18 Mai 1882

Monsieur,

Je n’ai pas besoin de vous dire combien votre dernière lettre m’a intéressé.

Je vois clairement maintenant que votre démonstration et la mienne ne peuvent différer que par la terminologie et par des détails ; ainsi il est probable que nous n’établissons pas de la même manière le caractère analytique de la relation qui lie les deux Mannigfaltigkeiten dont vous parlez ; pour moi je relie ce fait à la convergence de mes séries, mais il est évident qu’on peut arriver au même résultat sans passer par cette considération.

Les idées de M. Schwarz ont une portée bien plus grande ; il est clair que le théorème général en question, s’il était démontré, aurait son application dans la théorie d’un très grand nombre de fonctions et en particulier dans celle des fonctions définies par des équations différentielles non linéaires. C’est en étudiant de pareilles équations que j’avais été conduit de mon côté à chercher si une surface de Riemann à une infinité de feuillets pouvait être étendue sur un cercle, et j’avais été amené au problème suivant, qui permettrait de démontrer la possibilité de cette extension :

On donne une équation aux différences partielles

$$X_{1}\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+X_{2}\frac{d^{2}u}{dxdy}+X_{3}\frac{d^{2}u}{dy^{2}}+X_{4}\frac{du}{dx}+X_{5}\frac{du}{dy}=0$$

et une demi-circonférence $AMBO$.

$X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$, $X_{4}$, $X_{5}$ sont des fonctions données de $x$ et de $y$; ces fonctions sont analytiques à l’intérieur de la demi-circonférence et cessent de l’être sur son périmètre.

Peut-on trouver toujours une fonction $\mu$ de $x$ et de $y$ satisfaisant à l’équation, analytique à l’intérieur de la demi-circonférence, tendant vers 1 quand le point $x$, $y$ se rapproche de la demi-circonférence et vers 0 quand il se rapproche de diamètre $AOB$.

Tous mes efforts dans ce sens ont été jusqu’ici infructueux, mais j’espère que M. Schwarz qui a si bien résolu le problème dans le cas le plus simple, sera plus heureux que moi.

Je vous envoie les tirages à part de mes travaux anciens, et j’espère pouvoir vous adresser d’ici peu les autres mémoires plus récents que je vous ai annoncés et dont je ne saurais tarder à recevoir de tirage à part.

Quant au cours lithographié de M. Hermite il est édité chez Hermann, Librairie des Lycées, rue de la Sorbonne, le prix de l’abonnement est de 12 Francs. Je ne crois pas que l’éditeur envoie de tirage à part à M. Hermite.

Veuillez agréer l’assurance de mes sentiments les plus dévoués et de mon estime sincère,

Poincaré

ALS 4p. Nachlass Klein 11, 363, Handscriftenabteilung, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen. Edited by Nörlund (1923, 128–129), Fricke et al. (1923, 617–618), Julia and Petiau (1956, 60–62), and Dugac (1989, 117–118). See also the English translation (§ 7-2-69).

Time-stamp: "14.05.2021 18:17"