7-2-31. Felix Klein à H. Poincaré, traduction française

le 12 juin 1881

Leipzig, Sophienstraße 10/II

Monsieur,

Vos trois Notes dans les Comptes Rendus: “Sur les fonctions fuchsiennes”, dont j’ai d’abord pris connaissance hier et aussi alors seulement rapidement, sont en relation si étroites avec les réflexion et les efforts qui m’ont occupé au cours des dernières années, que je me sens obligé de vous écrire. Je voudrais, en premier lieu, me rapporter aux différents travaux que j’ai publiés dans les tomes XIV, XV et XVII des Mathematischen Annalen sur les fonctions elliptiques. Il ne s’agit, avec les fonctions elliptiques modulaires, que d’un cas particulier du rapport de dépendance que vous avez considéré ; mais un examen plus poussé vous montrera qu’en effet j’avais un point de vue général. A cet égard, je voudrais attirer votre attention sur certains points particuliers :

P. 128 du tome XIV traite des fonctions générales qui peuvent être représentées par des fonctions modulaires, sans être rattachées aux fonctions doublement périodiques. Il en résulte, d’abord comme un cas particulier, l’importante théorie du polygone fondamental.

P. 159–160 du tome XIV il est exposé qu’on peut représenter toutes les séries hyper géométriques par des fonctions uniformes des fonctions modulaires convenables.

P. 428 et ff. du tome XIV il contiennent un tableau qui illustre la disposition mutuelle des triangles d’arcs circulaires avec les angles $\frac{\pi}{7}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$ (ce qui est aussi un exemple des classes de fonctions particulières étudiées par Halphen), à propos de quoi je dois remarquer maintenant que M. Schwarz avait déjà expliqué les cas $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$ dans le tome LXXV du Journal de Crelle.

Dans le tome XVII, p. 62 et ff., je présente ensuite une vue d’ensemble rapide des conceptions approfondies, que, dans l’intervalle, j’ai préparée avec la théorie des fonctions modulaires elliptiques.

Je n’ai rien publié sur ces conceptions, mais je les ai présentées, pendant l’été 1879, dans un cours à l’Ecole d’enseignement technique général de Munich. Mon fil des idées, qui se rapproche sur beaucoup de points de celui que vous avez exposé, était à l’époque le suivant :

1. Fonctions périodiques et doublement périodiques ne sont que des exemples de fonctions uniformes à transformations linéaires en soi. C’est la tâche de l’analyse moderne de déterminer toutes ces fonctions.

2. Le nombre de ces transformations peut être fini ; cela donne les équations de l’icosaèdre, de l’octaèdre, …que j’ai étudiées autrefois (Math. Annalen IX, XII) et qui ont servi de point de départ de tout cet ensemble de notions.

3. Groupes d’un nombre infini de transformations linéaires, qui donnent lieu à des fonctions utilisables (groupe discontinu, d’après votre terminologie), s’obtiennent par exemple en partant d’un polygone d’arcs circulaires, dont les cercles coupent orthogonalement un cercle fixe et dont les angles sont des parties exactes de $\pi$.

4. On devait s’occuper de toutes ces fonctions (comme vous l’avez commencé en fait maintenant) mais pour atteindre des objectifs concrets ; limitons nous aux triangles d’arcs circulaires et, en particulier, aux fonctions modulaires elliptiques.

Depuis, je me suis beaucoup occupé, aussi en discutant avec d’autres mathématiciens, de ces questions, mais, abstraction faite que je n’ai pas encore obtenu aucun résultat définitif, cela n’a pas, finalement, sa place ici. Je veux me borner à ce que j’ai publié ou exposé dans des cours. Peut être aurais-je dû me mettre en rapport avec vous plus tôt, ou avec un de vos amis, comme par exemple Monsieur Picard. (Voudriez-vous, à l’occasion, attirer l’attention de Monsieur Picard sur les Annales, XIV, p.122, §8 ?) En effet votre démarche, celle qui conduit vos travaux depuis 2-3 ans, est, en réalité, très proche de la mienne. Aussi je serais heureux si cette première lettre donne lieu à une correspondance suivie. Il est vrai que, en ce moment, d’autres engagement m’éloignent de ces travaux, mais je suis d’autant plus incité à les reprendre que je dois faire, l’hiver prochain, un cours sur les équations différentielles.

Voulez-vous présenter mes compliments à Monsieur Hermite. J’ai souvent pensé prendre un contact épistolaire avec lui, et je l’aurais fait depuis longtemps- et je ne doute pas pour mon plus grand profit- s’il n’y avait pas le problème de la langue. Comme vous le savez peut-être, je suis resté suffisamment à Paris pour parler et écrire les français ; mais, entre-temps, cette disposition, faute de pratique, s’est fortement appauvrie.

Veuillez agréer l’assurance de ma considération distinguée.

Prof. Dr. F. Klein

PTrL. Translated by François Poincaré from the German in Nörlund (1923) (§ 4-47-1), and published in Dugac (1989, 89–90).

Time-stamp: "20.07.2021 13:20"

Notes

• 1 Klein (1876, 1877a, 1877b).