4-52-4. H. Poincaré to Sophus Lie

Paris, le 26 mars 1883

Mon cher Ami,

Merci mille fois pour la belle photographie d’Abel que vous avez eu la bonté de m’envoyer, et pour votre portrait qui m’a fait beaucoup de plaisir. Je vous envoie ci-joint une photographie de moi que l’on a tirée à Vesoul il y a trois ou quatre ans; je n’en ai pas de plus récente.

Les résultats que vous m’annoncez dans votre lettre m’ont vivement intéressé; ils me paraissent extrêmement importants. Je connaissais déjà ceux qui sont relatifs aux groupes qui ne dépendent que d’un nombre fini de paramètres et j’avais vu sans peine comment vous aviez pu les obtenir. Mais en ce qui concerne les groupes dépendant d’un nombre infini de paramètres, j’avoue que je ne puis deviner par quel moyen vous avez pu aborder un problème aussi difficile. Je n’ose vous le demander parce que l’exposé de votre méthode serait sans doute trop long pour être contenu dans les bornes d’une lettre. Mais j’attends avec impatience la publication du mémoire détaillé.

Il est cependant un point sur lequel je vous demanderai une explication. Vous parlez de groupes qui laissent invariante une équation différentielle du 1er ordre, par exemple le groupe de transformations conformes. J’avais d’abord compris qu’il s’agissait d’une équation de la forme suivante

F(x,y,dydx)=0,F\left(x,y,\frac{dy}{dx}\right)=0,

entre les coordonnées d’un seul point xx, yy, et la tg. à une courbe passant par ce point. Mais l’exemple que vous citez; celui des substitutions conformes ne me permet pas cette interprétation. Il s’agit évidemment dans l’espèce d’une relation entre les coordonnées d’un point xx, yy et les tangentes à deux courbes passant par ce point; de sorte qu’il me semble que vous entendez par équation différentielle du 1er ordre une relation entre plusieurs points du plan et les tangentes à diverses courbes passant par ces points.

Ai-je bien compris votre pensée ? Et si je l’ai bien comprise, le nombre de ces points et de ces tangentes est-il limité ou peut-il croître indéfiniment ?11endnote: 1 For Lie’s response, see Lie to Poincaré, ca. April 1883.

J’ai eu dernièrement de meilleures nouvelles de M. Klein par un de ses élèves M. Dyck qui est en ce moment à Paris.22endnote: 2 Walther Dyck (1856–1934), and from 1901, Walther Ritter von Dyck (Hashagen, 2003, 329).

Votre tout dévoué,

Poincaré

ALS 3p. NB Brevs. 289. Poincaré, Henri. Letter to Sophus Lie. National Library of Norway. Letter previously transcribed and annotated by Dugac (1989, 163–164).

Time-stamp: "30.07.2022 12:17"

Notes

  • 1 For Lie’s response, see Lie to Poincaré, ca. April 1883.
  • 2 Walther Dyck (1856–1934), and from 1901, Walther Ritter von Dyck (Hashagen, 2003, 329).

Références

  • P. Dugac (1989) Henri Poincaré, la correspondance avec des mathématiciens (de J à Z). Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques 10, pp. 83–229. Link Cited by: 4-52-4. H. Poincaré to Sophus Lie.
  • U. Hashagen (2003) Walther von Dyck (1856–1934): Mathematik, Technik und Wissenschaftsorganisation an der TH München. Franz Steiner Verlag, Stuttgart. Cited by: endnote 2.