4-52-4. H. Poincaré à Sophus Lie

Paris, le 26 mars 1883

Mon cher Ami,

Merci mille fois pour la belle photographie d’Abel que vous avez eu la bonté de m’envoyer, et pour votre portrait qui m’a fait beaucoup de plaisir. Je vous envoie ci-joint une photographie de moi que l’on a tirée à Vesoul il y a trois ou quatre ans; je n’en ai pas de plus récente.

Les résultats que vous m’annoncez dans votre lettre m’ont vivement intéressé; ils me paraissent extrêmement importants. Je connaissais déjà ceux qui sont relatifs aux groupes qui ne dépendent que d’un nombre fini de paramètres et j’avais vu sans peine comment vous aviez pu les obtenir. Mais en ce qui concerne les groupes dépendant d’un nombre infini de paramètres, j’avoue que je ne puis deviner par quel moyen vous avez pu aborder un problème aussi difficile. Je n’ose vous le demander parce que l’exposé de votre méthode serait sans doute trop long pour être contenu dans les bornes d’une lettre. Mais j’attends avec impatience la publication du mémoire détaillé.

Il est cependant un point sur lequel je vous demanderai une explication. Vous parlez de groupes qui laissent invariante une équation différentielle du 1^er ordre, par exemple le groupe de transformations conformes. J’avais d’abord compris qu’il s’agissait d’une équation de la forme suivante

$$F\left(x,y,\frac{dy}{dx}\right)=0,$$

entre les coordonnées d’un seul point $x$, $y$, et la tg. à une courbe passant par ce point. Mais l’exemple que vous citez; celui des substitutions conformes ne me permet pas cette interprétation. Il s’agit évidemment dans l’espèce d’une relation entre les coordonnées d’un point $x$, $y$ et les tangentes à deux courbes passant par ce point; de sorte qu’il me semble que vous entendez par équation différentielle du 1^er ordre une relation entre plusieurs points du plan et les tangentes à diverses courbes passant par ces points.

Ai-je bien compris votre pensée ? Et si je l’ai bien comprise, le nombre de ces points et de ces tangentes est-il limité ou peut-il croître indéfiniment ?

J’ai eu dernièrement de meilleures nouvelles de M. Klein par un de ses élèves M. Dyck qui est en ce moment à Paris.

Votre tout dévoué,

Poincaré

ALS 3p. NB Brevs. 289. Poincaré, Henri. Letter to Sophus Lie. National Library of Norway. Letter previously transcribed and annotated by Dugac (1989, 163–164).

Time-stamp: "19.03.2023 10:38"

Notes

• 1 For Lie’s response, see Lie to Poincaré, ca. April 1883 (§ 4-52-5).