4-52-5. Sophus Lie an H. Poincaré

[Ca. April 1883]

Lieber Poincaré !

Meinen herzlichsten Dank für Ihre Photographie wie auch für die begleitenden freundlichen Zeilen. Ich werde versuche Ihre Fragen zu beantworten. Im Uebrigen verweise ich auf die begleitenden Bogen auf denen ich eine wenn auch sehr unvollkomme Zusammenstellung der Principien meiner Theorie gebe.

Also zu Ihrer Frage !

Die Gleichungen

$$\left.\begin{aligned} x_{1}+\text{i}y_{1}&=F(x+\text{i}y)\\ x_{1}-\text{i}y_{1}&=\Phi(x-\text{i}y)\end{aligned}\right\}$$ (1)

in denen $F$ und $\Phi$ arbiträre analytische Funktionen bezeichnen, bestimmen in meiner Terminologie eine unendliche und continuirliche Gruppe die zwei Differentialgleichungen 1. O. nehmlich

$$\frac{dy}{dx}=+\text{i},\qquad\frac{dy}{dx}=-\text{i}$$

invariant lässt.

Es ist wohl zu bemerken, dass in den Gleichungen (1) die Grösse i überall dieselbe Quadratwurzel von $-1$ bezeichnet.

Füge ich zu den Gleichungen (1) noch die Gleichung

$$\left.\begin{aligned} x_{2}+\text{i}y_{2}&=F(x_{1}+\text{i}y_{1})\\ x_{2}-\text{i}y_{2}&=\Phi(x_{1}-\text{i}y_{1})\end{aligned}\right\}$$ (2)

so bestimmt der Inbegriff von den Gleichungen (1) und (2) alle conforme Transformationen der Ebene. Ich hebe ausdrücklich hervor, dass der Inbegriff der Gleichungen (1) und (2) in meiner Terminologie keine continuirliche Gruppe bilden. Denn ich definire eine Gruppe durch ihre infinitesimale Transformationen und verlange dass die endlichen Transformationen der Gruppe durch Wiederholung von den infinitesimalen erzeugt sind.

Dementsprechend sage ich z.B. wohl, dass die linearen Transformationen

$$x_{1}=\frac{ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma}\qquad y_{1}=\frac{Ax+By+C}{\alpha x+\beta y+\gamma}$$

eine continuirliche Gruppe bilden; dagegen ist der Inbegriff der linearen und der dualistischen Transformationen der Ebene nach meiner Terminologie keine continuirliche Gruppe.

Es ist selbstverständlicherweise wohl möglich den Begriff Gruppe noch mehr zu erweitern. Man erhielte dann Gruppen die auf einmal continuirlich und discontinuirlich wären. Ich habe mich nur in speciellen Fällen mit solchen Gruppen beschäftigt, in dem ich z.B. in diesem Sinne die Gruppe der Gleichung

$$rt-s^{2}=\text{Const. }(1+p^{2}+q^{2}),$$

die alle Flächen constanter Krümmung definirt, bestimmt habe.

Ich glaube nicht zu irren, wenn ich behaupte, dass es möglich ist alle Gruppen zu bestimmen, die auf einmal continuirlich und discontinuirlich sind. Hierauf habe ich indess nur wenig gedacht.

Denn für meine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen sind es immer die infinitesimalen Transformationen, die Interesse darbieten.

Ich wäre sehr glücklich, wenn es mir gelänge, Ihnen durch die mitfolgenden Entwicklungen eine Idee von meinen Untersuchungen zu geben.

In den späteren Monaten war ich beschäftigt mit der Redaction von meiner alten Theorie über Gleichungen $f(x\ y\ y^{\prime}\ \dots\ y^{(m)})=0$, die eine Gruppe gestatten, welche eine begrenzte Zahl Parameter enthält. Ich habe da viele curiose Resultate. Im Laufe des Sommers versuche ich dann eine vorläufige Redaction meiner Theorie der unendlichen Gruppen. Ich muss mich wohl bis weiter auf die Ebene beschränken, sonst wird die Exposition zu weitläufig.

Heute habe ich nur über meine eigene Untersuchungen geschrieben. Doch muss ich Ihnen schon in diesem Briefe die Bewunderung aussprechen, die Ihre letzte Arbeit in Acta bei mir erweckt haben.

Mit herzlichem Grusse Ihr

Sophus Lie

ALS 4p. Private collection, Paris 75017. Letter previously transcribed and annotated in Dugac (1989, 153–155), with a French translation (168–169).

Time-stamp: "28.03.2024 16:55"

Notes

• 1 A digitization of Lie’s eight-page resumé of the principles of his theory may be consulted in the Varia.
• 2 See the question posed in Poincaré’s letter to Lie, 26.03.1883 (§ 4-52-4).
• 3 Lie probably refers to Poincaré (1883), printed on 19 March, 1883.